Una masa puntual de 150g unida a un muelle horizontal de constante elástica= 65 N/m constituye un oscilador armónico simple. Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, determine:
-La expresión de la velocidad de oscilación de la masa en función de la elongación.
-La energía potencial elástica del sistema cuando la velocidad de oscilación es nula.
- La energía cinética del sistema cuando la velocidad de oscilación es máxima.
-La energía cinética y la energía potencial elástica del sistema cuando el módulo de la aceleración de la masa es igual a 13m/s^2
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Veamos. La expresión de la elongación es:
x = A cos(ω t + Ф), en general.
La velocidad es la derivada de la elongación.
v = - A ω sen(ω t + Ф) Despejamos seno y coseno, elevamos al cuadrado y sumamos:
(x/A)² + [(v/(A ω]² = 1; si despejamos v nos queda:
v = ω √(A² - x²)
ω = √(k/m) = √(65 N/m / 0,15 kg) = 20,8 rad/s
Entonces v = 20,8 rad/s √[(0,15 m)² - x²]
La energía potencial elástica máxima y la cinética máxima son iguales.
E = 1/2 k A² = 1/2 . 65 N/m . (0,15 m)² = 0,731 J
En un MAS es a = - ω² x = ω² x en valor absoluto.
Para a = 13 m/s², calculamos x
x = 13 m/s² / (20,8 rad/s)² = 0,03 m
La energía potencial elástica es E = 1/2 k x²
E = 1/2 . 65 N/m (0,03 m)² = 0,029 J
La energía cinética es Ec = 0,731 - 0,029 = 0,702 J
Verificamos con la velocidad para x = 0,03 m
v = 20,8 rad/s √[(0,15 m)² - (0,03 m)²] = 3,057 m/s
Ec = 1/2 m v² = 1/2 . 0,15 kg (3,057 m/s)² = 0,700 J
La diferencia se debe a las aproximaciones en los cálculos.
Saludos Herminio
x = A cos(ω t + Ф), en general.
La velocidad es la derivada de la elongación.
v = - A ω sen(ω t + Ф) Despejamos seno y coseno, elevamos al cuadrado y sumamos:
(x/A)² + [(v/(A ω]² = 1; si despejamos v nos queda:
v = ω √(A² - x²)
ω = √(k/m) = √(65 N/m / 0,15 kg) = 20,8 rad/s
Entonces v = 20,8 rad/s √[(0,15 m)² - x²]
La energía potencial elástica máxima y la cinética máxima son iguales.
E = 1/2 k A² = 1/2 . 65 N/m . (0,15 m)² = 0,731 J
En un MAS es a = - ω² x = ω² x en valor absoluto.
Para a = 13 m/s², calculamos x
x = 13 m/s² / (20,8 rad/s)² = 0,03 m
La energía potencial elástica es E = 1/2 k x²
E = 1/2 . 65 N/m (0,03 m)² = 0,029 J
La energía cinética es Ec = 0,731 - 0,029 = 0,702 J
Verificamos con la velocidad para x = 0,03 m
v = 20,8 rad/s √[(0,15 m)² - (0,03 m)²] = 3,057 m/s
Ec = 1/2 m v² = 1/2 . 0,15 kg (3,057 m/s)² = 0,700 J
La diferencia se debe a las aproximaciones en los cálculos.
Saludos Herminio
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