Una masa de 12,0 kg sujeta al extremo de un alambre de aluminio con longitud sin estirar de 0,500 m gira en círculo vertical, con rapidez angular constante de 120 rev/min. el área transversal del alambre es de 0,014 cm2. calcule el alargamiento del alambrecuando la masa está
Respuestas a la pregunta
El alambre que gira con una masa en su extremo de 12kg tendra un alargamiento en la parta mas baja de Δx = 0.01m
Explicación paso a paso:
Realizamos una sumatoria de fuerzas sobre el bloque en el eje Y:
↑∑Fy : man
Fres - mg = man
Donde:
Fres = kx
an = ω²r ; r=(l + x)
an = ω²(l + x)
kx - mg = mω²(l + x) .:. Despejamos x
kx - mg = mω²l + mω²x
x(k - mω²) = mω²l + mg
x = m(ω²l + g) / (k - mω²) (E1)
convertimos ω de rpm a rad/s
ω = 120rev/min * 2πrad/1rev * 1min/60s = 4πrad/s
l = 0.5m
si el limite de elasticidad del aluminio es E = 7*10¹⁰Pa, y la ecuacion que permite su calculo es:
E = σ/ε
σ = F/a ; ε = Lf-Li/Li
E =Fres/A / (x - l / l) .:: Despejamos k
E = kxl /Ax - Al
EAx - EAl = xkl
k = (EAx - EAl) / xl .:. sustituyo en E1
convertimos Área a metro
A = 0.014cm²*(1m/100cm)²= 1.4*10⁻⁶m²
x = m(ω²l + g) / ((EAx - EAl) / xl - mω²)
x = m(ω²l + g)(xl) / (EAx - EAl - xlmω²)
x(EAx - EAl - xlmω²) = mω²l²x + mglx
(EA - lmω²)x² - (EAl + mω²l² + mgl)x = 0
(98000N - 947.48N)x² - (49000N + 473.74N + 58.86N)x = 0
97052.52Nx² - 49532.6Nx = 0
x = 0.51m
El alargamiento es
Δx = x - l = 0.51m - 0.50m
Δx = 0.01m