Question

Una maquina lanza un proyectil con una velocidad inicial de 10mts por segundos y un ángulo de inclinación de 30 grados con la horizontal calcular a partir de que distancia estaría la zona de seguridad considerando la distancia que alcance el proyectil y la altura máxima que alcanzaría el proyectil.

Answer 1

La zona de seguridad estaría en un punto a partir de 8,33 metros

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 1,27 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Para encontrar la posición del proyectil es esencial establecer un sistema de referencia. En donde la velocidad con que se lanza el proyectil formará un ángulo α con la horizontal, que nos permitirá determinar las componentes x e y recurriendo a las relaciones trigonométricas habituales.

Siendo para el eje y

$\boxed {\bold { {V_{y} =V \ . \ sen \ \theta}}}$

Y para el eje x

$\boxed {\bold { {V_{x} =V_{} \ . \ cos \ \theta}}}$

Siendo las ecuaciones del movimiento parabólico

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { {V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { y ={y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} = -g$

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x ={x_{0} +V_{x} \ . \ t }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0$

Solución:  

a) Calcular a partir de que distancia estaría la zona de seguridad considerando el alcance del proyectil  

Se trata de una composición de movimientos en donde ambos son independientes

Hallaremos la velocidad inicial del proyectil sobre el eje y

$\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 10\ m/ s \ . \ sen \ 30\° }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 30\° es } \bold {\frac{ 1 } { 2 } }}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 10\ m/ s \ . \ \frac{1}{2} }}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 5\ m/ s }}}$

Determinaremos el tiempo en que el proyectil llega al suelo (y=0)

$\boxed {\bold { y = y_{0} + {V_{0y} \ . \ t \ +\frac{g \ . \ t^{2} }{2} }}}$

$\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold { 0= 0 + 5 t \ -\frac{9,8 \ . \ t^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { 0= 5 t -4,9t^{2} }}}$

$\boxed {\bold { 4,9t^{2} -5t = 0 }}}$

$\textsf{Factorizamos }$

$\textsf{Para resolver para t, para hallar el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo }$

$\boxed {\bold { t ( 4,9t -5)= 0 }}}$

$\boxed {\bold { t = 0 \ s }}}$

$\boxed {\bold { 4,9t -5 = 0 }}}$

$\boxed {\bold { 4,9t = 5 }}}$

$\boxed {\bold { t = \frac{5}{4,9} }}}$

$\boxed {\bold { t = 1,02 \ s }}}$

$\large\textsf {La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$

$\large\boxed{ \bold{ t= 1,02, 0 }}$

$\large\textsf {Al tener dos soluciones consideramos que t = 0 es el instante }\\\large\textsf {de tiempo del proyectil antes de ser lanzado por la m\'aquina }\\\large\textsf {Y el valor de t = 1,02 es el instante de tiempo en que }\\\large\textsf {el proyectil cae luego de ser lanzado }$

$\large\textsf {Se toma para t (tiempo) el instante en que el proyectil cae }$

$\large\boxed{ \bold{ t= 1,02 \ segundos }}$

El proyectil demora 1,02 segundos en caer

Conociendo el valor del tiempo- el cual es el mismo para los dos movimientos en x y en y.  podemos ahora hallar que distancia alcanza el proyectil y determinar donde estaría la zona de seguridad

$\boxed {\bold {V_{x}= {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}$

$\boxed {\bold {V_{x}= {V_{0x} = 10\ m/ s \ . \ cos \ 30\° }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 30\° es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } { 2 } }}$

$\boxed {\bold {V_{x}= {V_{0x} = 10\ m/ s \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{2} }}}$

$\boxed {\bold {V_{x}= {V_{0x} = 2 \ . \ (5) \ m/ s \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{2} }}}$

$\boxed {\bold {V_{x}= {V_{0x} = 5\sqrt{3} \ m/ s }}}$

$\boxed {\bold {V_{x}= {V_{0x} = 8,66 \ m/ s }}}$

Si

$\boxed {\bold { x =V_{x} \ . \ t }}$

$\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold { x = 8,66 \ m/s \ . \ 1,02 \ s }}$

$\large\boxed {\bold { x = 8,33 \ metros }}$

La zona de seguridad estaría en un punto a partir de 8,33 metros

b) Altura máxima del proyectil

Sabemos que la altura máxima del proyectil se alcanza a la mitad del tiempo de vuelo. Es decir, para:

$\boxed {\bold { t_{hmax} =\frac{t_v }{2 }= \dfrac{1,02\;s}{2}=0,51 \;s }}}$

Luego sustituimos este valor en la ecuación de la coordenada y para hallar la altura máxima:    

$\boxed {\bold { y_{max} = {V_{0y} \ . \ t_{hmax} \ +\ \frac{g \ . \ t_{hmax}^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { y_{max} = {5\;m/s \ . \ 0,51\;s \ + \ \frac{-9,8\;m/s^2 \ . \ (0,51\;s)^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { y_{max} = {2,55\;m -1,27449\;m }}}$

$\large\boxed {\bold { y_{max} \approx{1,27\;metros }}}$

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 1,27 metros