Question

Una maquina embotelladora de bebidas coloca la tapa correctamente en el 99.5% del tiempo si está bien ajustada, pero solo el 80% cuando no lo está. Si existe una probabilidad del 10% de que la maquina este desajustada.

a) ¿Cual es la probabilidad de que una botella elegida al azar tenga la tapa bien colocada?

b) Si se escoge aleatoriamente una tapa y esta mal colocada, cual es la probabilidad de que la maquina este mal ajustada​

Answer 1

La probabilidad de que una botella elegida al azar tenga la tapa bien colocada es del 97,55% y si una botella elegida al azar tiene la tapa mal colocada, eso implica una probabilidad del 81,6% de tener la máquina desajustada.

¿Como calcular la probabilidad de que la tapa esté bien puesta?

Teniendo la probabilidad de que la máquina esté desajustada, del 10%, podemos calcular la probabilidad de que la máquina esté ajustada, ya que ambos son sucesos mutuamente excluyentes:

$P(A)=1-0,1=0,9$

Tenemos también la probabilidad de que la tapa esté bien puesta sabiendo que la máquina está ajustada $P(B|A)=0,995$ y la probabilidad de que la tapa está bien puesta sabiendo que la máquina está desajustada $P(B|\bar{A})=0,8$.

Con estos datos podemos aplicar el teorema de la probabilidad total para hallar la probabilidad de que al agarrar cualquier botella, la misma tenga la tapa bien colocada:

$P(B)=P(B|A).P(A)+P(B|\bar{A}).P(\bar{A})=0,995.0,9+0,8.0,1\\\\P(B)=0,9755$

Lo que equivale a una probabilidad del 97,55%.

¿Como aplicar el teorema de Bayes?

En este caso estaríamos calculando la probabilidad $P(\bar{A}|\bar{B})$, de que la máquina esté desajustada sabiendo que la tapa está mal colocada. Según el teorema de Bayes tenemos:

$P(\bar{A}|\bar{B})=\frac{P(\bar{B}|\bar{A}).P(\bar{A})}{P(\bar{B})}$

Donde tenemos:

• $P(\bar{B}|\bar{A})$, probabilidad de que la tapa esté mal colocada sabiendo que la máquina está desajustada, tal que $P(\bar{B}|\bar{A})=1-P(B|\bar{A})=1-0,8=0,2$.
• $P(\bar{A})$, probabilidad de que la máquina esté desajustada, igual a 0,1.
• $P(\bar{B})$, probabilidad de que la tapa esté mal puesta, tal que $P(\bar{B})=1-P(B)=1-0,9755=0,0245$.

Reemplazando valores queda:

$P(\bar{A}|\bar{B})=\frac{0,2.0,1}{0,0245}=0,816$

Lo que equivale a un 81,6% de probabilidad de que la máquina esté desajustada.

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