Question

Una llave “A” puede llenar un tanque en 6 horas, otra llave “B” puede llenar el tanque en 5 horas y otra llave “C” puede vaciarlo en 3 horas, ¿En cuanto tiempo se llena el tanque si se dejan abiertas todas las llaves?

Answer 1

Respuesta:

30 horas

Explicación paso a paso:

Bien antes que nada, este es un típico problema de de exámenes de admisión de las Uni...

Este en particular es un poco más complejo que los otros (aquí ocurren tres eventos) donde solo hay dos eventos.

Bien hay una definición que debemos conocer, Caudal (Q), que viene a ser como la velocidad de llenado (o vaciado) de un tanque, la cual es

            $\hspace{100}Q=\dfrac{V}{t}\\\\Q:\ Caudal\\V:\ Volumen\ del\ tanque\\t:\ tiempo$

Ahora bien, en cada evento podemos definir un caudal dado

             $Q_A=\dfrac{V}{t_A}\hspace{80}Caudal\ producido\ por\ la\ llave\ A\\\\\\Q_B=\dfrac{V}{t_B}\hspace{80}Caudal\ producido\ por\ la\ llave\ B\\\\\\Q_C=-\dfrac{V}{t_C}\hspace{80}Caudal\ producido\ por\ la\ llave\ C,$

                                                           $es\ negativo\ porque\ es\ de\ vaciado$

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Finalmente se abren todas las llaves, y tenemos un caudal total igual a:

                                    $Q_T=Q_A+Q_B-Q_C$

Siendo el caudal total, el que va llenar el tanque en un tiempo dado, tenemos que:

                                    $\dfrac{V}{t_T}=\dfrac{V}{t_A}+\dfrac{V}{t_B}-\dfrac{V}{t_C}$

Despejamos el tiempo total

                                    $\dfrac{V}{t_T}=V\Bigg(\dfrac{1}{t_A}+\dfrac{1}{t_B}-\dfrac{V}{1_C}\Bigg)\\\\\\\dfrac{1}{t_T}=\dfrac{1}{t_A}+\dfrac{1}{t_B}-\dfrac{1}{t_C}\\\\\\\dfrac{1}{t_T}=\dfrac{(t_B\cdot t_C)+(t_A\cdot t_C)-(t_A\cdot t_B)}{t_A\cdot t_B\cdot t_C}\\\\t_T=\dfrac{t_A\cdot t_B\cdot t_C}{(t_B\cdot t_C)+(t_A\cdot t_C)-(t_A\cdot t_B)}$

Finalmente sustituyendo los datos, tenemos:

                                    $t_T=\dfrac{6\cdot 5\cdot 3}{(5\cdot 3)+(6\cdot 3)-(6\cdot 5)}\\\\\\t_T=\dfrac{90}{15+18-30}=\dfrac{90}{3}\\\\\\t_T=30\ h$

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En los otros ejercicio el tratamiento es igual; inclusive más fácil, ya que la fórmula generalmente se sobre dos eventos que se suman; asi se tendría lo siguiente:

                                     $t_T=\dfrac{t_1\cdot t_2}{t_1+t_2}$

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Espero que les sirva de ayuda, y puedan ustedes solos resolver los demás ejercicios.

Suerte y Saludos