Question

Una hormiguita se desplaza a través de una ventana de forma triangular recta cuya hipotenusa es 20 y sus catetos se encuentra en proporción de tres es a cuatro. Halle las razones reciprocas del menor ángulo.

Answer 1

Las razones recíprocas son: Cosecante = 5/3. Secante = 5/4 y Cotangente = 4/3

Procedimiento:

La hormiguita se desplaza por un triángulo rectángulo, donde sólo conocemos el valor de la hipotenusa, y que sus catetos se encuentran en una relación de tres a cuatro.

Luego planteamos una relación de proporcionalidad entre los lados y ángulos del triángulo

Sin importar en que catetos establezcamos la proporcionalidad, esta se cumplirá

Dado que conocemos sólo el valor de la hipotenusa debemos hallar una razón o constante de proporcionalidad entre los dos catetos y la hipotenusa

Donde denotaremos a esa constante de proporcionalidad como “k”

Hallaremos el valor de la constante por Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed{ \bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} + cateto\ 2^{2} }}$

$\boxed{ \bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} }}$

En donde

$\boxed{\bold {20^2=(4 k)^2+(3 k)^{2} }}$

$\boxed{\bold {400 = 16\ k^2+ 9 \ k^{2} }}$

$\boxed{\bold {400 = 25\ k^2 }}$

$\boxed{\bold { k^2 = \frac{400}{25} }}$

$\boxed{\bold { k^2 = 16 }}$

$\boxed{\bold { \sqrt{ k^2 } = \sqrt{16} }}$

$\boxed{\bold { k = \sqrt{16} }}$

$\boxed{\bold { k = 4 }}$

Habiendo hallado la constante de proporcionalidad, luego un cateto tendrá una relación de proporcionalidad con la hipotenusa de 4K, y el otro de 3k

Siendo posible establecer las magnitudes de los lados o catetos, dado que conocemos la razón de proporcionalidad

$\boxed{\bold { cateto \ 1=a=4k}}$

Reemplazamos k

$\boxed{\bold { cateto \ 1=a=4 \ . \ 4 }}$

$\boxed{\bold { cateto \ 1=a=16 \ unidades }}$

$\boxed{\bold { cateto \ 2=b=3k}}$

Reemplazamos k

$\boxed{\bold { cateto \ 2=b=3 \ . \ 4 }}$

$\boxed{\bold { cateto \ 2=b=12 \ unidades }}$

Se pide hallar las razones recíprocas del ángulo menor.

Definimos en que consisten las razones trigonométricas inversas, o sea las razones inversas del seno, coseno y la tangente de un ángulo α

Desde las tres razones trigonométricas principales

Seno

El seno del ángulo α es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

$\boxed {\bold {sen (\alpha ) =\frac{ cateto \ opuesto }{hipotenusa } = \frac{b}{c} }}$

Coseno

El coseno del ángulo α es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.

$\boxed {\bold {cos (\alpha ) =\frac{ cateto \ adyacente}{hipotenusa } = \frac{a}{c} }}$

Tangente

La tangente del ángulo α es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo.

$\boxed {\bold {tan (\alpha ) =\frac{ cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{b}{a} }}$    

Las razones trigonométricas recíprocas resultan ser los inversos multiplicativos de las tres razones principales

Dado un triángulo rectángulo, definimos la cosecante, la secante y la cotangente de un ángulo α como las razones inversas o recíprocas del seno, el coseno y la tangente respectivamente

Cosecante

Siendo la cosecante de un ángulo α la inversa del seno, o inversa multiplicativa

La cosecante del ángulo α es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.

$\boxed { \bold {csc(\alpha) = \frac{ hipotenusa } {cateto \ opuesto } = \frac{1}{sen(\alpha) } = \frac{c}{b} }}$

Secante

Siendo la secante de un ángulo α la inversa del coseno, o inversa multiplicativa

La secante del ángulo α es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.

$\boxed { \bold {sec(\alpha) = \frac{ hipotenusa } {cateto \ adyacente } = \frac{1}{cos(\alpha) } = \frac{c}{a} }}$

Cotangente

Siendo la cotangente de un ángulo α la inversa de la tangente, o inversa multiplicativa

La cotangente del ángulo α es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto al ángulo.

$\boxed { \bold {cot(\alpha) = \frac{ cateto \ adyacente } {cateto\ opuesto } = \frac{1}{tan(\alpha) } = \frac{a}{b} }}$

Donde para el triángulo rectángulo dado las razones recíprocas para el ángulo de menor valor serán

Según los valores de los lados

Cosecante

$\boxed { \bold {csc(\alpha) = \frac{ hipotenusa } {cateto \ opuesto } = \frac{1}{sen(\alpha) } = \frac{c}{b} }}$

$\boxed { \bold {csc(\alpha) = \frac{ 20 } {12 } }}$

$\boxed { \bold {csc(\alpha) = \frac{ 5 } {3 } }}$

Secante

$\boxed { \bold {sec(\alpha) = \frac{ hipotenusa } {cateto \ adyacente } = \frac{1}{cos(\alpha) } = \frac{c}{a} }}$

$\boxed { \bold {sec(\alpha) = \frac{ 20 } {16 } } }}$

$\boxed { \bold {sec(\alpha) = \frac{ 5 } {4 } } }}$

Cotangente

$\boxed { \bold {cot(\alpha) = \frac{ cateto \ adyacente } {cateto\ opuesto } = \frac{1}{tan(\alpha) } = \frac{a}{b} }}$

$\boxed { \bold {cot(\alpha) = \frac{ 16 } {12 } }}$

$\boxed { \bold {cot(\alpha) = \frac{ 4 } {3 } }}$

Según la constante de proporcionalidad

La resolución se encuentra en el adjunto