Question

Una hormiga se encuentra en el extremo de un tocadiscos de radio de 30 cm y comienza a girar a partir de un ángulo de 25 ° con respecto a la horizontal y en sentido contrario a las manecillas del reloj.
El tocadiscos parte del reposo y después de 1.5 segundos la hormiga forma un ángulo con la horizontal de 120°. Calcule: a) El vector aceleración total de la hormiga cuando han pasado 15 s b) ¿Cuantas vueltas dio la hormiga desde que comenzó a girar el tocadiscos y hasta los 15 s?

Answer 1

Respondemos las preguntas sobre la hormiga que se mueve en el tocadisco con un Movimiento Circular Uniformemente Variado.

Cálculos previos:

El radio del tocadiscos es R=0.3 metros, al pasar de 25° a 120° la hormiga ha  recorrido:

$\Delta \theta = (120-25)\times \frac{\pi}{180} =1.6581\, rad$

Ahora se calcula la aceleración angular:

$\Delta \theta = \omega_0 t+\frac{1}{2}\alpha t^2\\\\1.6581=0\times1.5+ \frac{1}{2}\times\alpha \times 1.5^2\\\\\alpha=1.4738\,\frac{rad}{s^2}$

La velocidad angular en la posición 2 es:

$\omega^2=\omega_0^2+2\alpha \Delta \theta\\\\\omega^2=0^2+2\times 1.4738\times 1.6581\\\\\omega=2.2108\,\frac{rad}{s}$

a) La aceleración total es la tangencial más la centrípeta:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a_t}+\overrightarrow{a_c}$

Donde la aceleración tangencial apunta en la dirección 120°+90°=210°:

$\overrightarrow{a_t}=\alpha R\angle{210}\\\\\overrightarrow{a_t}=0.4422\angle{210}\,\frac{rad}{s^2}$

La aceleración centrípeta apunta en la dirección 120°+180°=300°:

$\overrightarrow{a_t}=\omega^2 R\angle{300}\\\\\overrightarrow{a_t}=1.4662\angle{300}\,\frac{rad}{s^2}$

b)  A los 15 segundos se calcula el recorrido

$\Delta \theta = \omega_0 t+\frac{1}{2}\alpha t^2\\\\\Delta \theta=0\times15+ \frac{1}{2}\times 1.4738 \times 15^2\\\\\Delta \theta=165.8063\, rad$

Como una vuelta son 2π radianes podemos calcular el número de vueltas:

$vueltas = \frac{165.8}{2\pi} =26.3\,\text{vueltas}$