Question

Una galería tiene paredes verticales de 1.5 metros de altura y un techo abovedado en forma de medio elipsoide. Los focos que están a una altura de 1.5 metros sobre el piso, están separados por 4 metros. Si la altura de la contrucción de la bóveda es 3.5 metros¿Cuánto mide si eje mayor?

Answer 1

Respuesta:

El eje mayor es $a=2,82m$

Explicación paso a paso:

la ecuación de la elipse es:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

donde $(h,k)$ corresponde al centro de la elipse,

a= eje mayor de la elipse y

b= eje menor de la elipse.

el eje menor de la elipse mide 2m, porque se encuentra desde la altura de los focos hasta la altura de la bóveda:

eje menor= altura de la bóveda - altura de los focos

eje menor = 3,5m - 1,5m

eje menor= 2 m

de acuerdo a los datos dados por el enunciado, la distancia entre los focos es de 4 metros, es decir que, si el centro esta en el origen, entonces la distancia desde el centro hasta los focos es de 2m.

por tanto:

$c^2=a^2-b^2$

reemplazando los valores que se tienen:

$(2m)^2=a^2-(2m)^2$

despejando a:

$a^2=(2m)^2+(2m)^2$

$a^2=(2m)^2+(2m)^2$

$a^2=8m^2$

$a=2,82m$

El eje mayor es $a=2,82m$

La ecuación de la elipse es:

$\frac{x^2}{8}+\frac{(y-1.5)^2}{4}=1$

En la imagen adjunta se encuentra la representación de la galería.