Question

Una fuente de corriente alterna de frecuencia angular ω se conecta a una resistencia R y a un condensador C en serie. La corriente registrada es I. Si ahora, la frecuencia de la fuente se cambia a ω/3 (pero manteniendo la misma tensión), la corriente en el circuito se reduce a la mitad. Calcula la relación entre la reactancia y la resistencia a la frecuencia original ω.

Answer 1

A la frecuencia original, la relación entre la reactancia capacitiva y la resistencia es 0,77.

Explicación:

Si el resistor y el capacitor están en serie, la impedancia del circuito es:

$Z=\sqrt{R^2+(\frac{1}{wc})^2}$

Si ahora la frecuencia disminuye a w/3, la nueva impedancia queda:

$Z=\sqrt{R^2+(\frac{1}{\frac{w}{3}C})^2}=\sqrt{R^2+(\frac{3}{wC})^2}$

Si la corriente se reduce a la mitad manteniendo la misma tensión, eso significa que la impedancia aumenta al doble, por lo que igualando las dos impedancias queda:

$2\sqrt{R^2+(\frac{1}{wC})^2}=\sqrt{R^2+(\frac{3}{wC})^2}\\\\2\sqrt{R^2+(\frac{1}{wC})^2}=\sqrt{R^2+9(\frac{1}{wC})^2}\\\\X_C=\frac{1}{wC}=>2\sqrt{R^2+X_C^2}=\sqrt{R^2+9X_C^2}$

Elevando al cuadrado en ambos miembros queda:

$4(R^2+X_C^2)=(R^2+9X_C^2)\\\\4R^2+4X_C^2=R^2+9X_C^2\\\\4R^2-R^2=9X_C^2-4X_C^2\\\\3R^2=5X_C^2\\\\\frac{X_C^2}{R^2}=\frac{3}{5}\\\\\frac{X_C}{R}=\sqrt{\frac{3}{5}}=0,77$

O sea, que la relación entre la reactancia capacitiva y la resistencia a la frecuencia original es 0,77.