Question

Una forma de medir la distribución del ingreso entre los habitantes de un país determinado es utilizar el índice de Gini que lleva el nombre del economista italiano Corrado Gini, quien fue el primero en idealizarlo en 1912.
En primer lugar, todos los hogares de un país se clasifican por ingresos y luego se calcula el porcentaje de hogares cuyo ingreso es como máximo un porcentaje determinado del ingreso total del país. Por tanto, la curva de Lorenz y = L (x) se define en el intervalo [0,1] marcando el punto (a / 100, b / 100) en la curva si la % de las familias más pobres recibe como máximo el b% del ingreso total. Por ejemplo, en la Figura 1, el punto (0.4; 0.12) está en la curva de Lorenz e indica que el 40% de la población del país recibe solo el 12% del ingreso total. Análogamente al punto (0,8; 0,5), es decir, el 80% de la población recibe el 50% del ingreso total.

La Figura 2 muestra la curva de Lorenz típica para algunos países y muestra que todos pasan por los puntos (0.0) y (1.1) y son cóncavos hacia arriba. En el caso extremo L (x) = x, la sociedad es perfectamente igual.

El área entre la curva de Lorenz y = L (x) y la línea y = x mide cuánto difiere la distribución del ingreso de la igualdad absoluta y el índice de Gini representa esta área, como se muestra en la figura 3.

Numéricamente, el índice de Gini varía de cero a uno (algunos tienen de cero a cien por ciento). Se calcula de la siguiente manera:

$IG = \dfrac{1}{2} - IL$

De tal manera que IL es el índice de Lorenz, calculado utilizando el área bajo la curva.
El valor cero representa la situación de igualdad, es decir, todos tienen los mismos ingresos. El valor uno (o el cien por cien) está en el extremo opuesto, es decir, una persona tiene toda la riqueza. En la práctica, el índice de Gini tiende a comparar el 20% más pobre con el 20% más rico.
La siguiente tabla (tabla función de Lorenz) muestra los valores de la función de Lorenz para un país hipotético en los años 1990, 2000, 2010 y 2020.

Con base en esta información, estime el índice de Gini de ese país, durante los años presentados, utilizando integración numérica. ¿Notas alguna tendencia?

Answer 1

Sabemos que el índice de Gini se calcula como (ver figura adjunta):

$G=\dfrac{A}{A+B}$

donde:

• A es el Área entre la curva de igualdad y la curva de Lorenz
• B es el Área bajo la curva de Lorenz

Tenemos una tabla que representa la función de Lorenz para los años 1990, 2000, 2010 y 2020. Lo único que debemos hacer es calcular el área bajo esta curva usando integración numérica. Para ello emplearemos el método de los trapecios. Comenzaremos ilustrando el procedimiento para 1990.

1990

Para dar una idea de este método te recomiendo checar la figura 2 que te adjunto. Se muestra en azul la función de lorenz para 1990. Como puedes observar, el área bajo la curva (señalada en azul) está dada por la suma del área de cada uno de los trapecios rectángulos bajo la curva. El área del trapecio está dada por la semisuma de las bases por la altura. Esto es:

$A=\dfrac{L_n(x)+L(x)_{n+1}}{2}(x_{n+1}-x_n)$

Ejemplos:

Intervalo 0-0.2

Lₙ(x) = 0

Lₙ₊₁(x)= 0.041

xₙ = 0

xₙ₊₁ = 0.2

El área será:  

$A=\dfrac{0.041+0}{2}(0.2-0)=0.0041$

Intervalo 0.2-0.4

Lₙ(x) = 0.041

Lₙ₊₁(x)= 0.149

xₙ = 0.2

xₙ₊₁ = 0.4

El área será:  

$A=\dfrac{0.041+0.149}{2}(0.4-0.2)=0.019$

No tiene sentido que siga haciendo 18 cálculos restantes. Voy a resumir los resultados para 1990:

Intervalo    0-0.2     0.2-0.4    0.4-0.6   0.6-0.8    0.8-1

 Área       0.0041      0.019    0.0472   0.0891    0.1568

El área total debajo de la curva de Lorenz es simplemente la suma de todas las áreas. Esto es:

B =0.0041+0.019+0.0472+0.0891+0.1568

B = 0.3162

El área bajo la curva de la igualdad es 0.5. Nota que es un triangulo rectangulo isosceles de lados 1. Por tanto:

A = 0.5 - B

A = 0.5 - 0.3162

A = 0.1838

El coeficiente de Gini será:

$G=\dfrac{A}{A+B}=\dfrac{0.1838}{0.1838+0.3162}=0.3676$

2000

Intervalo    0-0.2     0.2-0.4    0.4-0.6   0.6-0.8    0.8-1

 Área        0,0042   0,0186     0,0456   0,0871   0,1559

B = 0,3114

A = 0.1886

$G=\dfrac{A}{A+B}=\dfrac{0.1886}{0.1886+0.3114}=0.3772$

2010

Intervalo    0-0.2     0.2-0.4    0.4-0.6   0.6-0.8    0.8-1

 Área        0,0038    0,0172    0,0427   0,0823   0,153

B = 0.299

A = 0.201

G = 0.402

2020

Intervalo    0-0.2     0.2-0.4    0.4-0.6   0.6-0.8    0.8-1

 Área       0,0036     0,0156    0,0386   0,0764  0,1498

B = 0.284

A = 0.216

G = 0.432

RESUMEN

Año   Índice de Gini

1990       0.3676

2000      0.3772

2010       0.402

2020      0.432

Note que el índice de Gini ha ido aumentando a través de los años, lo que significa que ha aumentado considerablemente la desigualdad.

Las imágenes y el índice de Gini fueron generados y comprobados con el siguiente código de Matlab/Octave cambiando los datos para cada año.

% Datos

L = [0 0.036 0.120 0.266  0.498 1];

x = 0:0.2:1;

% Integra numéricamente

B = trapz(x,L);

% Coeficiente de Gini

A = 0.5 - B;

G = A/(A+B)  

% Graficos (OPCIONALES)

plot(x,L);

hold on;

plot(x,x);

xverts = [x(1:end-1); x(1:end-1); x(2:end); x(2:end)];

yverts = [zeros(1,5); L(1:end-1); L(2:end); zeros(1,5)];

p = patch(xverts,yverts,'b','LineWidth',1.5);

fill(x,L,'r')

title('2020')

xlabel('x')

ylabel('L(x)')