Question

Una flecha es disparada por un angulo de 45° respecto a la horizontal, describe un arco parabólico definido por la ecuación y=-ax2+bx+c
Use el hecho que la flecha se lanza a una altura vertical de 6 pies y recorre una distancia horizontal de 200 pies, ¿Calcula los coeficientes a, b y c.
¿Cual es la altura máxima alcanzada por la flecha?

Answer 1

Y = -aX² + bX + C

Para: X = 0; Y = 6

Entonces:

6 = -a(0) + b(0) + C

C = 6

Ahora aplicamos el criterio de la Primera derivada que seria la recta tangente en un punto dado:

Y´ = -2aX + b

Para X = 0;  Y´ = Tan(45): Y´= 1

1 = -2a(0) + b

b = 1

Ahora para X = 200; Y = 0, porque es el alcance horizontal de la flecha

Y = -aX² + bX + C

Y = -aX² + X + 6

0 = -a(200)² + 200 + 6

0 = -40000a + 206

40000a = 206

a = 0.00515

Entonces los coeficientes son:

a = 0.00515; b = 1; c = 6

La ecuacion de la trayectoria seria:

Y = -0.00515X² + X + 6

Ahora aplico el crieterio de primera y segunda derivada para determinar si tengo un maximo o un minimo

Y´= -2(0.00515)X + 1

Y´= -0.0103X + 1 (Hago Y´ = 0)

0 = -0.0103X + 1

0.0103X = 1

X = 1/0.103

X = 97.0873

Ahora aplico la segunda derivada para mirar si en ese valor de X = 97.0873 tengo un maximo o un minimo

Y´´ = -0.0103 (Menor que 0 entonces tengo un maximo)

Ecuacion de la trayectoria: Y = -0.00515X² + X + 6

Altura maxima 97.0873 pies

Te anexo la grafica de la situacion