Question

una finca de forma triangular, tiene una superficie de 4 ha. y un lado de 180 m. se desea dividir la finca mediante una paralela a este lado, de mmodo que el triangulo parcial que resulte tenga una superficie de 1 ha y 69 areas. calcular la longitud de la paralela que ha de trazarse.

Answer 1

La longitud de la paralela que ha de trazarse es 1,17 metros.

Explicación paso a paso:

En la figura anexa se observa el terreno triangular y la subdivisión que genera un triángulo superior cuya área es conocida. De igual forma se observa que el segmento de recta que marca la altura de esos triángulos los divide en dos triángulos rectángulos.

Vamos a usar los conceptos de área del triángulo y semejanza de triángulos para relacionar las tangentes de los ángulos de los triángulos rectángulos, y hallar los valores de las longitudes necesarias para calcular la longitud de la paralela al lado conocido de 180 m que hay que trazar en la subdivisión:

1) Calculamos la altura  h  a partir del área del triángulo (4 ha  =  40000 m²)

$A=\frac{base*altura}{2}$    ⇒    $40000=\frac{180*h}{2}$    ⇒    h  =  ⁴⁰⁰⁰/₉  m

2) A partir de los ángulos  α  y  β  relacionamos los lados conocidos con la longitud de la subdivisión buscada

Triángulo original:        Tgα  =  (⁴⁰⁰⁰/₉)/(180  -  x)        Tgβ  =  (⁴⁰⁰⁰/₉)/(x)

Triángulo superior:        Tgα  =  z/p        Tgβ  =  z/y

Por lo tanto

(⁴⁰⁰⁰/₉)/(180  -  x)  =  z/p    ⇒    

(⁴⁰⁰⁰/₉)p  =  (180  -  x)z    ⇒    

x  =  180  -  (p/z)(⁴⁰⁰⁰/₉)

(⁴⁰⁰⁰/₉)/(x)  =  z/y    ⇒    (⁴⁰⁰⁰/₉)y  =  (z)(x)    ⇒    

(⁴⁰⁰⁰/₉)y  =  (z)(180  -  (p/z)(⁴⁰⁰⁰/₉))    ⇒    

(⁴⁰⁰⁰/₉)y  =  180z  -  p(⁴⁰⁰⁰/₉)    ⇒    

(⁴⁰⁰⁰/₉)y  +  p(⁴⁰⁰⁰/₉)  =  180z    ⇒    

(⁴⁰⁰⁰/₉)(y  +  p)  =  180z

3) Despejamos  z  del área del triángulo superior cuyo valor 1,69  ha  es conocido y deseado

$A=\frac{base*altura}{2}$    ⇒    $1,69=\frac{z(p+y)}{2}$    ⇒    $z=\frac{3,38}{(p+y)}$

4) Sustituimos el valor de  z  en la ecuación al final de 2) y despejamos el valor de  (y  +  p); es decir, de la longitud de la subdivisión

$(\frac{4000}{9})(y+p)=(180)(\frac{3,38}{y+p})$    ⇒    

$(y+p)^{2}=\frac{(180)(3,38)(9)}{4000}$    ⇒    

$(y+p)=\sqrt{\frac{(180)(3,38)(9)}{4000}}$    ⇒

(y  +  p)  =  1,17  m