Question

Una fabrica posee 5 máquinas que se utilizan en la producción de cuatro artículos diferentes:
A, B, C y D. El número de horas de cada máquina es usada en la producción de una unidad
de cada uno de los cuatro productos es dada por la siguiente tabla:


Hallar el numero de unidades que se deben producir de cada uno de los productos en una semana de 5
días, sabiendo que ada máquina se unas 8 horas diarias.

Answer 1

Las máquinas producen: A = 2, B = 3, C = 5, D = 0 unidades de producto en una semana de 5 días.  

Explicación paso a paso:  

¿Quienes son las incógnitas?

Llamaremos:  

A = cantidad de productos que se elaboran en la máquina A en una semana de 5 días.  

B = cantidad de productos que se elaboran en la máquina B en una semana de 5 días.  

C = cantidad de productos que se elaboran en la máquina C en una semana de 5 días.  

D = cantidad de productos que se elaboran en la máquina D en una semana de 5 días.  

¿Cuáles son las ecuaciones?  

De la información aportada, planteamos el sistema de ecuaciones:  

7A + 2B + 4C + 3D = 40  

4A + 4B + 4C + 5D = 40  

10A + 0B + 4C + 7D = 40  

9A + 4B + 2C + 11D = 40  

10A + 5B + C + 13D = 40  

Dado que tenemos 4 incógnitas, solo se requieren 4 ecuaciones. Por conveniencia prescindimos de la primera ecuación y resolvemos el sistema de ecuaciones por el método Gauss-Jordan:  

1.- Se construye una matriz con los coeficientes del sistema y se amplia con el vector de términos independientes:

$\left[\begin{array}{ccccc}4&4&4&5&40\\10&0&4&7&40\\9&4&2&11&40\\10&5&1&13&40\end{array}\right]$

2.- Se realizan operaciones hasta lograr la forma triangular inferior de la matriz identidad. (diagonal principal rellena de unos y el resto rellena de ceros)  

Multiplicamos la primera fila por ¼ para obtener uno en la primera posición de la primera fila; es decir, la esquina superior izquierda o inicio de la diagonal principal.  

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\10&0&4&7&40\\9&4&2&11&40\\10&5&1&13&40\end{array}\right]$

Con la primera fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la primera fila por -10 y sumando a la segunda fila, multiplicando la primera fila por -9 y sumando a la tercera fila, multiplicando la primera fila por -10 y sumando a la cuarta fila.  

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\0&-10&-6&-\frac{11}{2}&-60\\0&-5&-7&-\frac{1}{4}&-50\\0&-5&-9&\frac{1}{2}&-60\end{array}\right]$

Multiplicamos la segunda fila por -¹/₁₀ para obtener uno en la segunda posición de la segunda fila.  

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\0&1&\frac{3}{5}&-\frac{11}{20}&6\\0&-5&-7&-\frac{1}{4}&-50\\0&-5&-9&\frac{1}{2}&-60\end{array}\right]$

Con la segunda fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la segunda fila por 5 y sumando a la tercera fila, multiplicando la segunda fila por 5 y sumando a la cuarta fila.  

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\0&1&\frac{3}{5}&-\frac{11}{20}&6\\0&0&-4&\frac{5}{2}&-20\\0&0&-6&\frac{13}{4}&-30\end{array}\right]$

Multiplicamos la tercera fila por -¼ para obtener uno en la tercera posición de la tercera fila.  

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\0&1&\frac{3}{5}&-\frac{11}{20}&6\\0&0&1&-\frac{5}{8}&5\\0&0&-6&\frac{13}{4}&-30\end{array}\right]$

Con la tercera fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la tercera fila por 6 y sumando a la cuarta fila.  

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\0&1&\frac{3}{5}&-\frac{11}{20}&6\\0&0&1&-\frac{5}{8}&5\\0&0&0&-\frac{1}{2}&0\end{array}\right]$

Multiplicamos la cuarta fila por -2 para obtener uno en la cuarta posición de la cuarta fila.  

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\0&1&\frac{3}{5}&-\frac{11}{20}&6\\0&0&1&-\frac{5}{8}&5\\0&0&0&1&0\end{array}\right]$

3.- A partir de esta matriz, se reescribe el sistema de ecuaciones recordando que las columnas corresponden a los coeficientes de las incógnitas en el orden A, B, C, D.  

A + B + C + (⁵/₄)D = 10  

0A + B + (³/₅)C + (¹¹/₂₀)D = 6  

0A + 0B + C - (⁵/₈)D = 5  

0A + 0B + 0C + D = 0  

4.- De aquí:  

D = 0  

C - (⁵/₈)(0) = 5 ⇒ C = 5  

B + (³/₅)(5) + (¹¹/₂₀)(0) = 6 ⇒ B = 3  

A + (3) + (5) + (⁵/₄)(0) = 10 ⇒ A = 2  

¿Cuánto produce cada máquina en una semana de 5 días?  

Las máquinas producen:  

A = 2 unidades/semana de 5 días,  

B = 3 unidades/semana de 5 días,  

C = 5 unidades/semana de 5 días,  

D = 0 unidades/semana de 5 días