Question

Una fabrica de procesadores cuando el proceso de fabricación esta bajo control produce el 1% de unidades defectuosas, pero si esta fuera de control se produce el 5% de unidades defectuosas. Por experiencia se sabe que el 95% de las veces el proceso esta bajo control.
si se escoge una unidad y es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso este bajo control?
Y si se escogen diez unidades y una es defectuosa ¿Cuál es la probabilidad que el proceso este bajo control

Answer 1

Si la pieza elegida es defectuosa, el sistema tiene un 79,2% de probabilidad de estar bajo control. Si de 10 unidades una es defectuosa, la probabilidad de que esté bajo control el proceso es del 9,5%.

Explicación paso a paso:

Si cuando el sistema está bajo control produce un 1% de unidades defectuosas, tenemos P(D|B)=0,01. Siendo D el suceso "unidad defectuosa" y B el suceso "bajo control".

Si tomamos una unidad y es defectuosa y queremos hallar la probabilidad de que el proceso esté bajo control, esta sería la probabilidad de que esté bajo control sabiendo que la pieza es defectuosa, o sea P(B|D). Estas están relacionadas por el teorema de Bayes:

$P(B|D)=\frac{P(D|B).P(B)}{P(D)}$

Podemos aplicar el teorema de la probabilidad total para hallar la probabilidad de tener una unidad defectuosa:

$P(D)=P(D|B).P(B)+P(D|F).P(F)=0,01.0,95+0,05.0,05=0,012$

Donde el suceso F es "proceso fuera de control", y B y F son mutuamente excluyentes. Volvemos al teorema de Bayes queda:

$P(B|D)=\frac{P(D|B).P(B)}{P(D)}=\frac{0,01.0,95}{0,012}=0,792=79,2\%$

Si se eligen 10 piezas y una es defectuosa, podemos asumir P(D)=0,1, porque el 10% de las unidades van a ser defectuosas. Entones la probabilidad de que el proceso esté bajo control queda:

$P(B|D)=\frac{P(D|B).P(B)}{P(D)}=\frac{0,01.0,95}{0,1}=0,095=9,5\%$