Question

una esfera sólida de latón (módulo volumétrico de 14.0 X 10^10 N/m) con un diámetro de 3.00 m es lanzada al océano.¿cuanto disminuye el diametro de la esfera cuando se sumerge a una profundidad de 1.00 km?​

Answer 1

La variación del diámetro de la esfera a 1 km bajo el mar es de $-7,214\times 10^{-5}m$.

¿Cuánto disminuye el volumen de la esfera?

Primero tenemos que hallar la presión manométrica a 1 km de profundidad sabiendo que la densidad del agua de mar es de $1027\frac{kg}{m^3}$:

$P=\delta.h.g=1027\frac{kg}{m^3}.9,81\frac{m}{s^2}.1000m=1,01\times 10^{7}Pa$

Entonces, usando el módulo volumétrico podemos hallar la variación de volumen sabiendo que la variación de presión será la calculada:

$K=-V\frac{\Delta P}{\Delta V}\\\\\Delta V=-V.\frac{\Delta P}{K}=-\frac{4}{3}\pi.R^3.\frac{\Delta P}{K}=-\frac{4}{3}\pi.(1,5m)^3.\frac{1,01\times 10^{7}Pa}{14\times 10^{10}\frac{N}{m}}\\\\\Delta V=-0,001017m^3$

¿Cuánto disminuye el diámetro de la esfera?

Con la variación del volumen podemos calcular el nuevo volumen de la esfera y de él podemos despejar el nuevo radio de la misma.

$V_2=V+\Delta V=\\\\\frac{4}{3}\pi.R_2^3=\frac{4}{3}\pi.R^3+(-\frac{4}{3}\pi.R^3\frac{\Delta P}{k})\\\\R_2^3=R^3-R^3\frac{\Delta P}{k}\\\\R_2=\sqrt[3]{R^3(1-\frac{\Delta P}{K})}=R\sqrt[3]{(1-\frac{\Delta P}{K})}=1,5m\sqrt[3]{(1-\frac{1,01\times 10^{7}Pa}{14\times 10^{10}\frac{N}{m}})}\\\\R_2=1,4999639m$

El nuevo diámetro de la esfera es:

$D_2=2.R_2=2.1,4999639m=2,9999279m$

Y la variación del diámetro de la esfera es:

$\Delta D=D_2-D=2,9999279m-3m=-7,214\times 10^{-5}m$

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