Question

Una esfera rueda por una mesa horizontal de altura H sobre el suelo, con una velocidad de 16,5 m/s tarda un tiempo de 3,4 segundos al
tocar el suelo. Determine:
a) La altura H de la mesa
b) La distancia horizontal que recorre en el suelo
c) La velocidad con que llega al suelo

Answer 1

a) La altura de la mesa es de 57.8 metros

b) El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 56.10 metros, siendo esta la distancia horizontal que recorre la esfera

c) La velocidad con la que llega la esfera al suelo es de 37.80 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro o lanzamiento horizontal.  

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

Inicialmente su posición es   $\bold {y_{0} = H }$

Solución

a) Hallamos la altura de la mesa

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\large\boxed {\bold { y =H -\frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H -\frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos la altura }$

$\large\boxed {\bold { H = \frac{ g \ . \ t^{2} }{2} }}$

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } \ . \ (3.4 \ s)^{2} }{2} }}$

$\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \ \frac{m}{\not s^{2} } \ . \ 11.56 \not s^{2} }{2} }}$

$\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \ . \ 11.56 }{2} \ metros }}$

$\boxed {\bold { H = \frac{ 115.60 }{2} \ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H = 57.80 \ metros }}$

La altura de la mesa es de 57.80 metros

b) Hallamos la distancia horizontal que recorre la esfera

Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =16.5\ \frac{m}{\not s} \ . \ 3.4\ \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 56.10 \ metros}}$

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 56.10 metros, siendo esta la distancia horizontal que recorre la esfera

c) Hallamos la velocidad del cuerpo cuando llega al suelo

1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de  3.4 segundos

Para el eje x - Eje horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =16.5\ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - Eje vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo.

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical $\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold { V_{y} =- g\ . \ t }}$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { {V_y} = -10 \ \frac{m}{s^{\not2} } \ . \ 3.4 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { {V_y} =-34 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad para el tiempo de vuelo (que es el instante de tiempo en que la esfera llega al suelo) se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(16.5 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-34 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{272.25\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +1156 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{1428.25\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 37.79 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 37.8 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad con la que llega la esfera al suelo es de 37.80 metros por segundo (m/s)

Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento