Question

Una esfera es lanzada con movimiento parabólico con una velocidad inicial de 160 m/s y un ángulo de 26°. Calcular el tiempo de vuelo.

Answer 1

El tiempo de vuelo es de 14,32 segundos.

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Para encontrar la posición del proyectil es esencial establecer un sistema de referencia. En donde la velocidad con que se lanza el proyectil formará un ángulo α con la horizontal, que nos permitirá determinar las componentes x e y recurriendo a las relaciones trigonométricas habituales.

Siendo para el eje y

$\boxed {\bold { {V_{y} =V \ . \ sen \ \theta}}}$

Y para el eje x

$\boxed {\bold { {V_{x} =V_{} \ . \ cos \ \theta}}}$

Siendo las ecuaciones del movimiento parabólico

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { {V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { y ={y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} = -g$

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x ={x_{0} +V_{x} \ . \ t }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0$

Solución:  

Como se trata de una composición de movimientos en donde ambos son independientes

Hallaremos las componentes vertical y horizontal para una $\bold { V_{0} = 45 \ m /s }}$

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje y    

$\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 160\ m/ s \ . \ sen \ 26\° }}}$

$\boxed {\bold { {V_{0y} = 160\ m/ s \ . \ 0,4383711467890 }}}$

$\large\boxed {\bold { {V_{0y} = 70,14\ m/ s }}}$

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje x    

$\boxed {\bold { {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { {V_{0x} = 160\ m/ s \ . \ cos \ 26\° }}}$

$\boxed {\bold { {V_{0x} = 160\ m/ s \ . \ 0,8987940462991 }}}$

$\large\boxed {\bold { {V_{0x} = 143,81\ m/ s }}}$

Cálculo del tiempo de vuelo de la esfera

El tiempo que tarda el objeto en subir está dado por

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0y} \ - \ g \ . \ t }}$

Cuando el proyectil alcanza su altura máxima ya no sube más y en ese instante de tiempo su velocidad es cero  $\bold { V_{y} = 0 }}$

$\boxed {\bold {V_{y} = 0 \ = \ V_{0}y \ - \ g \ . \ t_{subida} }}$

$\textsf{Despejando el tiempo que tarda en subir } } }}$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{V_{0y} }{g} }}$

$\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{ 70,14 \ m/s }{9,8 \ m/s^{2} } }}$

$\boxed {\bold {t_{subida} =7,16 \ segundos }}$

$\large\textsf{El tiempo de permanencia en el aire es } } }}$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 2\ t_{subida} }}$

$\textsf{Reemplazando } } }}$

Si

$\boxed {\bold {t_{subida} = 7,16\ s } }}$    

$\boxed {\bold {t_{aire} = 2 \ . \ (7,16 \ s) }}$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 14,32\ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 14,32 segundos

Aunque el enunciado no lo pide desarrollamos otras preguntas de examen

Altura máxima del proyectil

Sabemos que la altura máxima del proyectil se alcanza a la mitad del tiempo de vuelo. Es decir, para:

$\boxed {\bold { t_{hmax} =\frac{t_v }{2 }= \dfrac{14,32\;s}{2}=7,16 \;s }}}$

Se sustituye este valor en la ecuación de la coordenada y para hallar la altura máxima:    

$\boxed {\bold { y_{max} = {V_{0y} \ . \ t_{hmax} \ +\ \frac{g \ . \ t_{hmax}^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { y_{max} = 70,14\;m/s \ . \ 7,16\;s \ + \ \frac{-9,8\;m/s^2 \ . \ (7,16\;s)^{2} }{2} }}}$      

$\boxed {\bold { y_{max} = {502,2024;m - 251,20144\;m }}}$

$\large\boxed {\bold { y_{max} \approx{251\;metros }}}$        

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 251 metros  

Hallando el alcance del proyectil

$\boxed {\bold { x =V_{0x} \ . \ t }}$

$\textsf{Reemplazando }$      

$\boxed {\bold { x = 143,81 \ m/s \ . \ 14,32 \ s }}$

$\large\boxed {\bold { x = 2059,36 \ metros }}$    

El alcance del proyectil es de 2059,36 metros