Question

Una escuela debe transportar 200 estudiantes a un evento. Hay disponibles tanto autobuses grandes como pequeños. Un autobús grande tiene capacidad para 50 personas y alquilarlo para el evento cuesta $800. Un autobús pequeño tiene capacidad para 40 personas y alquilarlo para el evento cuesta $600. Hay 8 conductores disponibles el día del evento.
Encuentra la combinación de autobuses que puedan transportar a los 200 estudiantes al
menor costo posible utilizando no más de 8 conductores.
• Escribe la función objetivo y cuantifique las restricciones como desigualdades.
• Verifica que el problema se puede resolver utilizando la programación lineal.
• Grafica el sistema de desigualdades lineales. Identifique la región viable y los vértices.
• Sustituye los vértices en la función objetivo para determinar las soluciones que brindan la
solución mínima o máxima.
• Interpreta la solución en términos de otras variables de decisión.

Answer 1

La mejor opción que minimiza los costos es contratar 6 autobuses pequeños

Sean las variables:

x: cantidad de autobuses grandes

y: cantidad de autobuses pequeños

Función objetivo

Queremos minimizar los costos: entonces debemos minimizar la función:

$800*x + $600*y

Restricciones:

• 8 conductores disponibles: entonces el total de autobuses debe ser menor o igual a 8:  x + y ≤ 8
• Hay que transportar 200 estudiantes entonces el número de puestos debe ser mayor o igual a 200: 50*x + 40*y ≥ 200
• Restricciones de dominio: las variables deben ser no negativas:  x≥0, y ≥ 0

Tenemos un problema de programación lineal:

Min $800*x + $600*y

S.A.

x + y ≤ 8

50*x + 40*y ≥ 200

x≥0

y ≥ 0

Región factible: graficamos las rectas que cumplen con la igualdad de las inecuaciones y vemos la región factible

x + y = 8

y = 8 - x

50x + 40y = 200

40y = 200 - 50x

y = 5 - 1.25x

En la primera imagen adjunta podemos ver la grafica de las rectas

Recta roja: si probamos un punto por debajo de ella por ejemplo el (0,0) vemos que se cumple la desigualdad. Por lo tanto la región esta por debajo e la recta roja.

Recta azul: si probamos un punto por encima de ella, por ejemplo (100, 100)  vemos que la desigualdad se cumple por lo tanto la región factible esta por encima de la recta azul

Las otras dos rectas y = 0 y x = 0, nos dice que es en el primer cuadrante

Región factible: esta entre la recta roja azul, en el primer cuadrante es la región que observamos en la segunda imagen adjunta.

Los posibles puntos máximos o mínimos son: los puntos de cortes de las rectas y = 8 -x y 5 - 1.25x con los ejes

y = 8 -x Puntos de cortes:

Si x = 0 tenemos que y = 8 P (0,8)

Si y = 0 tenemos que x = 8 (8,0)

y = 5 -1.25x Puntos de cortes:

Si x = 0 tenemos que y = 5 P (0,5)

Si y = 0 tenemos que x = 4 P (4,0)

Vemos cual minimiza la función evaluando en la función objetivo

P(0,8): $800*0 + $600*8 = $4800

P(8,0): $800*8 + $600*0 = $6400

P(0,5): $800*0 + $600*5 = $3000

P(4,0): $800*4 + $600*0 = $3200

Entonces el punto (0,5) es el que minimiza la función que será la solución mínima, por lo tanto se deben contratar 6 autobuses pequeños