Question

Una escopeta dispara muchos perdigones hacia arriba. Algunos viajan casi verticalmente, pero otros se desvían hasta 1.0 de la vertical. Suponga que la rapidez inicial de todos los perdigones es uniforme de 150 m/s e ignore la resistencia del aire.

a) En que radio del punto de disparo caerán los perdigones?

b) Si hay 1000 perdigones y se distribuyen uniformemente en un círculo del radio calculado en el inciso
c) Que probabilidad hay de que al menos un perdigón caiga en la cabeza de quien dispar.? (Suponga que la cabeza tiene 10 cm
de radio.)

d) En realidad, la resistencia del aire tiene varios efectos: frena los perdigones al subir, reduce la componente horizontal de su velocidad y limita la rapidez con que caen. Cual efecto tenderá a hacer el radio mayor que el calculado en a), y cual tenderá a
reducirlo?. Qué efecto global cree que tendrá la resistencia? (Su efecto sobre una componente de velocidad se incrementa al aumentar la magnitud de la componente.)

Answer 1

Calculamos el radio en el que caerán los perdigones y la probabilidad que caigan en la cabeza:

• El radio en el que caerán los perdigones es X = 0,35 m.

• La probabilidad que los perdigones caigan en la cabeza de quien dispara es de 8,1%. De 1.000 perdigones, 81 pueden caer en la cabeza.

• Al aumentar el radio, los perdigones alcanzarán menor altura y la mayoría caerán en una dirección determinada.

• Al disminuir el radio, los perdigones alcanzarán mayor altura y la mayoría caerán en un área más reducida y cercana a quien dispara.

• La resistencia, disminuye la altura, la velocidad de caída y el radio que pueden alcanzar los perdigones.

Datos:

Velocidad inicial: V₀ = 150 m/s.

Ángulo con la vertical: θ = 1º

Aceleración de gravedad: g = 9,8 m/s².

Procedimiento:

El radio en el que se dispersan los perdigones lo podemos calcular a partir de la formula de velocidad de un movimiento variado. Con la velocidad final cero, al regresar al suelo (V = 0), la velocidad inicial tiene componente vertical representada por el seno del ángulo (θ) y como la aceleración de la gravedad se opone al movimiento, esta es negativa:

$\boxed{V^2 = V_0^2-2*g*X} \quad \longrightarrow 0 = (150)^2*Sen^2(1\º)-2*(9,8)*X$

$\hspace{5cm} X = \frac{\big{(150)^2*Sen^2(1\º)}}{\big{2*(9,8)}} \approx 0,35 \:m$

La probabilidad de un evento se calcula dividiendo el número de casos posibles entre los casos totales:

$\boxed{Probabilidad=\frac{Casos \:posibles}{Casos \:totales} }$

Los casos posibles, se determinan a partir del área que ocupa la cabeza de quien dispara con un radio de 0,1 metros.

$Ac=\pi *(0,1)^2=0,01*\pi$

Los casos totales, será el área total en donde se distribuyen los perdigones con un radio de 0,35 metros.

$At=\pi *(0,35)^2=0,123*\pi$

Obtenemos la probabilidad: $P = \frac{\big{Ac}}{\big{At}} = \frac{\big{0,01*\pi}}{\big{0,123*\pi}}= 0,081$

Finalmente podemos representar la probabilidad representada en porcentaje, al multiplicar por cien. Esto significa que de 1.000 perdigones, 81 pueden caer en la cabeza (1.000 × 0,081).

Answer 2

Véase la imagen adjunta.

a) Para el momento en que los perdigones hayan tocado el suelo, estos tuvieron que haberse elevado hasta quedarse sin velocidad vertical, y luego haber descendido hasta tocar el suelo. En este caso, la velocidad vertical actuó en MRUV.

Por otro lado, la velocidad horizontal (la que nos da el radio del disparo) se mantiene constante, por lo que recorrerá "r" distancia en "t" tiempo, el cual corresponde con el tiempo total hasta tocar el suelo.

Sea Vyi la velocidad vertical inicial, diremos entonces que:

$V_{yi}=V*cos(1)=150m/s*cos(1)$

Y sea Vx la velocidad horizontal. Por ende:

$V_x=V*sen(1)=150m/s*sen(1)$

Como la velocidad vertical se maneja en MRUV, podemos calcular el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima con la fórmula:

$V_{yf}=V_{yi}-g*t\\\\t=\frac{150m/s*cos(1)}{9,81m/s^2}\\ \\t\simeq 15,29s$

Sabiendo que el tiempo que tarda en subir es igual al tiempo que tarda en bajar, podemos decir entonces que el tiempo total es de (15,29s)*2=30,58s

Luego, el radio estará dado por:

$r=V_x*t\\\\r=150m/s*sen(1)*30,58s\\\\r=80,05m$

Siendo entonces el radio igual a 80,05m

b y c) Debemos sacar la razón entre las áreas formadas por el círculo de radio 80,05m y el círculo de radio 10cm (0,10m).

$razon=\frac{A_c}{A_r}=\frac{\pi * (0,1m)^2}{\pi*(80,05m)^2} =1,56*10^{-6}$

Luego, multiplicamos por 1000 la razón, y tendremos que:

1,56*10⁻³ de cada 1000 perdigones caerá en la cabeza (dicho de forma coloquial, las probabilidades de que caigan en la cabeza son casi nulas).

d) La resistencia siempre tenderá a disminuir el radio de los perdigones. Como la resistencia los frena a la hora de subir, entonces el tiempo que estarán en el aire será menor y, por lo tanto, la distancia horizontal será menor. Sin embargo, como hay resistencia en la caída cuando cae, entonces la caída durará más tiempo.

Además, como la resistencia también se refleja en la componente horizontal, la velocidad de esta no se reflejará como MRU y, por lo tanto, irá disminuyendo por la resistencia del aire.

Saludos.