Una escalera uniforme de 5 m de longitud que pesa 160 N descansa contra una pared vertical sin fricción con su base a 3 m de la pared. El coeficiente de fricción estática entre la base de la escalera y el suelo es de 0.4. Un hombre de 740 N sube lentamente la escalera. a) ¿Qué fuerza de fricción máxima puede ejercer el suelo sobre la escalera en su base? b) ¿A cuánto asciende esa fuerza cuando el hombre ha trepado 1 m a lo largo de la escalera? c) ¿Hasta dónde puede trepar el hombre entes de que la escalera resbale?
Respuestas a la pregunta
Adjunto en esta respuesta dos fotos del problema resuelto a mano:
La fuerza de fricción máxima sobre la escalera es 360 N, cuando el hombre ha trepado 1 m disminuye a 171 N, el hombre puede trepar 2.7 m antes de que la escalera resbale.
En la parte a) se obtiene la máxima fuerza de fricción considerando el coeficiente de 0.4. En la parte b) y c) se usará la ecuación de sumatoria de momentos.
¿Cuáles son las ecuaciones para determinar la fricción?
La máxima fricción se obtiene multiplicando el peso total por el coeficiente:
Fr = μ*Peso
Para determinar otra fricción distinta a la máxima se deben sumar los momentos, cada uno vale:
M = Fuerza*Brazo
- Determinación del ángulo de inclinación de la escalera:
El ángulo se obtiene sabiendo que la escalera forma un triángulo rectángulo:
5*cos(θ) = 3
cos(θ) = (3/5)
θ = 53.13°
- Parte a: Fuerza de fricción máxima:
Partiendo de que el peso es la suma del de la escalera más el del hombre:
Frb = μ*Peso
Frb = 0.4*(160+740) = 360 N
Parte b: Fricción cuando el hombre ha trepado 1 m:
Para sumar los momentos en el punto b (ver figura) se consideran positivos los que tienden a mover la escalera en sentido horario:
Mpeso = Peso escalera * brazo
Mpeso = 160*1.5*cos(53.13) = 240 Nm
Mhombre = 740*1*cos(53.13) = 444 Nm
Mra = Fra * brazo = 0 (porque la pared es lisa)
Ma = Na*brazo
Ma = Frb*4 (Frb = Na se obtiene de la suma de fuerzas en x)
Mb = Frb*brazo = 0 (porque el brazo es cero)
Ahora sumando los momentos:
∑M: Mpeso+Mhombre-Ma = 0
240+444-4*Frb =0
Frb = (240+444)/4 = 171 N
- Parte c: Máximo desplazamiento del hombre:
Lo primero que debemos buscar es el máximo desplazamiento horizontal x del hombre, la fuerza de fricción alcanza su máximo valor:
∑M: Mpeso+Mhombre-Ma = 0
240+740*x-360*4 =0
x = 1.6 m
Considerando el ángulo se tiene lo que trapa el hombre:
l = 1.6/cos(53.13) = 2.7 m
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