Question

Una escalera de 70decímetros (dm) de longitud está apoyada sobre la pared, como muestra la figura. El pie de la escalera dista 50dm de la pared. Calculala altura sobre la que se apoya la parte superior de la escalera en la paredal piso.

Answer 1

La escalera alcanza sobre la pared una altura aproximada de 48.50 decímetros

Una escalera de 70 decímetros de longitud se apoya contra una pared de manera tal que el pie de la escalera se encuentra a 50 decímetros de distancia de la pared.

Se pide calcular la altura donde se apoya la parte superior de la escalera en la pared al piso

Este problema se resuelve empleando el Teorema de Pitágoras

¿De qué se trata del teorema de Pitágoras?  

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos hallar el valor del tercero.

Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.  Por lo tanto los dos ángulos restantes son agudos.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.    

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Solución

El ángulo que forma la altura de la pared con el suelo es un ángulo recto, con lo que tenemos un triángulo rectángulo.

Donde la distancia a la que se encuentra el pie de la escalera hasta la pared forma un cateto, el otro cateto lo conforma la altura de la pared hasta donde apoya la parte superior de la escalera y donde la longitud de la escalera es la hipotenusa del triángulo rectángulo

Empleamos la notación habitual en los triángulos rectángulos donde a y b son los catetos y c la hipotenusa

Conocemos la distancia del pie de la escalera a la pared (cateto 2 = b)  y la longitud de la escalera (hipotenusa = c)

Debemos hallar que altura alcanza la parte superior de la escalera apoyada sobre la pared desde el piso de acuerdo a los datos dados

Hallamos la altura sobre la que se apoya la parte superior de la escalera en la pared aplicando teorema de Pitágoras

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { a^{2} = c^{2} \ - \ b^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = (70\ dm )^{2} \ - \ (50 \ dm)^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 4900 \ dm^{2} \ - \ 2500 \ dm^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 2400 \ dm^{2} }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ a^{2} } = \sqrt{2400 \ dm ^{2} } }}$

$\boxed {\bold { a = \sqrt{2400 \ dm^{2} } }}$

$\boxed {\bold { a \approx 48.98979 \ dm }}$

$\large\boxed {\bold { a \approx 48.50 \ dm }}$

La escalera alcanza sobre la pared una altura aproximada de 48.50 decímetros