Una escalera de 4.2 metros se encuentra apoya sobre la pared de una, cuando empieza a resbalarse. Cuando la base de la escalera se encuentra a 3.5 metros de la casa, la base se aleja a una razón de 1.2 metros/segundo. Determinar:
a) ¿A qué velocidad se está resbalando la parte superior de la escalera?
b) ¿A qué razón está cambiando el área del triángulo formado por la casa y la escalera?
c) Indique la razón de los signos en los resultados en los incisos a) y b)
d) ¿A qué tasa está cambiando el ángulo formado por la escalera y el suelo en ese momento (cuando x = 4.2m)?
Respuestas a la pregunta
El extremo de la escalera desciende a razón de 1.8 metros por segundo. El área del triángulo está disminuyendo a razón de 1.8 metros cuadrados por segundo. El ángulo entre la escalera y el suelo disminuye a una tasa de 4.9 radianes por segundo.
Explicación paso a paso:
Del planteamiento se entiende que las distancias x = distancia de la base de la escalera a la pared de la casa y y = altura de la pared donde se apoya el extremo superior de la escalera, son variables y que lo hacen en función del tiempo; además sabemos que las podemos relacionar por medio del teorema de Pitagoras:
(Hipotenusa)² = (Cateto Opuesto)² + (Cateto Adyacente)²
En el caso que nos ocupa:
(4.2)² = (3.5)² + (y)²
a) ¿A qué velocidad se está resbalando la parte superior de la escalera?
La velocidad de cambio de la distancia sobre la pared en el tiempo no es más que la derivada implícita con respecto al tiempo t:
d[(4.2)²]/dt = d[(x)²]/dt + d[(y)²]/dt ⇒ 0 = 2x dx/dt + 2y dy/dt ⇒
dy/dt = (-x/y) dx/dt
Vamos a calcular el valor de y para las condiciones dadas:
(4.2)² = (x)² + (y)² ⇒ (4.2)² = (3.5)² + (y)² ⇒ y = 2.3 metros
Finalmente calculamos dy/dt sustituyendo los valores conocidos en la función derivada:
dy/dt = -[(3.5)/(2.3)](1.2) = -1.8 m/s
El extremo de la escalera desciende a razón de 1.8 metros por segundo.
b) ¿A qué razón está cambiando el área del triángulo formado por la casa y la escalera?
El área (A) se calcula multiplicando la longitud de la base del triángulo por su altura y dividiendo entre 2. La razón de cambio del área es la derivada implícita con respecto al tiempo:
A = xy/2
dA/dt = (y/2)dx/dt + (x/2)dy/dt
sustituyendo los valores conocidos:
dA/dt = (2.3)(1.2)/2 + (3.5)(-1.8)/2 = -1.8 m²/s
El área del triángulo está disminuyendo a razón de 1.8 metros cuadrados por segundo.
c) Indique la razón de los signos en los resultados en los incisos a) y b)
En ambos casos el signo de la derivada es negativo. Esto significa que la variable está reduciendo su valor en la medida que transcurre el tiempo.
En el caso a) la altura en la pared donde se apoya el extremo superior de la escalera disminuye en la medida en que la base de la escalera resbala y y el extremo superior se desliza por la pared hacia el piso.
En el caso b) el área del triángulo disminuye en la medida que las dimensiones de este cambian.
d) ¿A qué tasa está cambiando el ángulo formado por la escalera y el suelo en ese momento (cuando x = 4.2m)?
El lado del triángulo que coincide con la superficie del piso representa el cateto adyacente al ángulo que forma la escalera con el piso. (la escalera es la hipotenusa)
Cosα = (CA)/(hip) = x/4.2
Calculemos el valor del ángulo en ese momento
α = ArcCos (3.5/4.2) = 34° = 8 radianes
Derivando implícitamente con respecto al tiempo:
-Senα (dα/dt) = (dx/dt)/(4.2) ⇒ (dα/dt) = (dx/dt)/[(4.2)(-Sen34)] ⇒
(dα/dt) = (1.8)/[(4.2)(-Sen34)] = -4.9 rad/s
El ángulo entre la escalera y el suelo disminuye a una tasa de 4.9 radianes por segundo.