Question

Una empresa turística en la ciudad del Cusco presenta costos fijos de 200 dólares, y la inversión que demanda atender cada turista es de 100 dólares. La empresa ha determinado que sus ingresos se modelan bajo la función f(x)=200x-x^2-160 en dólares, donde x es el número de turistas atendidos.
a. Determinar la razón de cambio promedio cuando los turistas atendidos pasan de 10 a 20 en una semana.
b. Determinar la razón de cambio instantáneo para x=20.

Answer 1

Tenemos que, si la función que determina los ingresos está dada por $f(x)=200x-x^2-160$ en dólares, entonces la razón de cambio de 10 a 20 es 170 y en el instante $x = 20$ es de 160

Planteamiento del problema

Vamos a tomar la función de estudio dada por $f(x)=200x-x^2-160$ la cual representa los ingresos, ahora para calcular la razón de cambio promedio de 10 a 20 vamos a hacer lo siguiente

                                       $R = \frac{f(20)-f(10)}{20-10}$

Donde tenemos los siguientes valores para la función

• $f(20) = 200*20-20^2-160 = 3440$
• $f(10) = 200*10-10^2-160 = 1740$

Sustituyendo tendremos los siguientes resultados

                                $R = \frac{3440-1740}{20-10} = \frac{1700}{10} = 170$

Para la razón de cambio instantáneo, vamos a usar la derivada

                                            $\acute f(x)=200-2x$

Evaluando en $x = 20$ tendremos entonces $200-2*20 = 160$

En consecuencia, si la función que determina los ingresos está dada por $f(x)=200x-x^2-160$ en dólares, entonces la razón de cambio de 10 a 20 es 170 y en el instante $x = 20$ es de 160

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