Question

Una empresa turística en la ciudad del Cusco presenta costos fijos de 200 dólares, y la inversión que demanda atender cada turista es de 100 dólares. La empresa ha determinado que sus ingresos se modelan bajo la función f(x)=200x-x^2-160 en dólares, donde x es el número de turistas atendidos.
a. Determinar la razón de cambio promedio cuando los turistas atendidos pasan de 10 a 20 en una semana.
b. Determinar la razón de cambio instantáneo para x=20.

Answer 1

Si una empresa turística en la ciudad del Cusco ha determinado que sus ingresos se modelan bajo la función f(x)=200x-x²-160 en dólares, donde x es el número de turistas atendidos, entonces:

1. La razón de cambio promedio cuando los turistas atendidos pasan de 10 a 20 en una semana es de 170
2. La razón de cambio instantáneo para x=20 es de 160

Razón de cambio promedio

La razón de cambio del ingreso cuando varía el número de turistas viene dado por:

$m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

En este caso, x₁=10 y x₂=20. Sustituyendo ambos valores en la función f(x)=200x-x²-160 tenemos:

• Para x₁=10 ⇒  f(x₁)=200(10)-(10)²-160  ⇒    f(x₁)=2000-100-160  ⇒  f(x₁)=1740
• Para x₂=20 ⇒  f(x₂)=200(20)-(20)²-160  ⇒    f(x₂)=4000-400-160  ⇒  f(x₂)=3440

Sustituyendo en la fórmula de razón de cambio tenemos:

$m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{3440-1740}{20-10}=\frac{1700}{10}=170$

La razón de cambio promedio cuando los turistas atendidos pasan de 10 a 20 en una semana es de 170

Razón de cambio instantáneo

La razón de cambio instantáneo del ingreso cuando se tiene un número de turistas especifico viene dado por:

$m_{inst}= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Sustituyendo la función f(x) y reduciendo términos, tenemos:

$m_{inst}= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{[200(x+h)-(x+h)^2-160]-[200x-x^2-160]}{h}\\ \\= \lim_{h \to 0} \frac{200x+200h-x^2-2xh-h^2-160-200x+x^2+160}{h}\\ \\= \lim_{h \to 0} \frac{200h-2xh-h^2}{h}\\ \\= \lim_{h \to 0} \frac{h(200-2x-h)}{h}\\\\= \lim_{h \to 0} (200-2x-h)}=200-2x$

Para x=20, tenemos:

Mins=200-2(20) =200-40 =160

La razón de cambio instantáneo para x=20 es de 160

Aprende más sobre la razón de cambio promedio en https://brainly.lat/tarea/20358175

Aprende más de la razón de cambio instantáneo en https://brainly.lat/tarea/19828433

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