Una empresa maderera arroja diariamente material de desecho según la función:
P(t) = 0.01t^3 - 0.2t^2 + t + 1 Siendo P la cantidad de material en kilogramos y t la hora del día entre 8 <_ t <_ 20. En qué momento del día aumenta la cantidad de material que arroja? En cuál disminuye? Hallar la cantidad máxima de material que arroja y a qué hora se produce eso?
Respuestas a la pregunta
La cantidad de material de desecho arrojado disminuye a partir de las 8 hasta las 10 horas y de allí en adelante aumenta hasta alcanzar la máxima cantidad de material de desechos arrojada a las 20 horas, extremo superior del intervalo definición, en la cual se desechan 21 kg de material.
Explicación paso a paso:
Los valores máximos y mínimos de una función acotada se obtienen evaluando los extremos del intervalo definición y usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos. Además nos apoyaremos en la figura anexa.
1. Extremos del intervalo definición
Evaluamos la función P cuando t = 8 y t = 20
P₍₈₎ = 0.01(8)³ - 0.2(8)² + (8) + 1 = 1.32 kg de desechos
P₍₂₀₎ = 0.01(20)³ - 0.2(20)² + (20) + 1 = 21 kg de desechos
2. Extremos relativos de P usando criterios de primera y segunda derivada
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de t.
t = 10 es el punto crítico o posible extremo de la función a considerar, pues t = 3.33 está fuera del intervalo definición.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
t = 10 es un mínimo de la función P.
Cuarto, evaluamos la función en el valor mínimo de t y obtenemos el valor mínimo de P.
P₍₁₀₎ = 0.01(10)³ - 0.2(10)² + (10) + 1 = 1 kg de desechos
Ahora estamos en posición de responder las preguntas formuladas:
¿En qué momento del día aumenta la cantidad de material que arroja?
La cantidad de material de desecho arrojado aumenta a partir de las 10 horas.
¿En cuál disminuye?
La cantidad de material de desecho arrojado disminuye a partir de las 8 hasta las 10 horas.
Hallar la cantidad máxima de material que arroja y ¿a qué hora se produce eso?
La máxima cantidad de material de desechos arrojada se produce a las 20 horas, extremo superior del intervalo definición, en la cual se desechan 21 kg de material.