Question

. Una empresa ha diseñado una nueva llanta y no saben cuál será la vida prome-dio de sus cuerdas. Saben que la vida de las cuerdas tiene una distribución normal con desviación estándar de 216.4 millas. • Si la compañía toma una muestra de 800 llantas y registra la vida de sus cuerdas, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra esté entre la media verda-dera y 300 millas más que la media verdadera? • ¿Qué tan grande debe ser la muestra para tener el 95% de seguridad de que la media muestral estará a no más de 100 millas de la media verdadera?

Answer 1

Con una muestra de 800 llantas es practicamente 0% la probabilidad de que la media muestral esté 300 millas por encima de la verdadera. Para tener un 95% de seguridad de que la media muestral está a no más de 100 millas de la media verdadera se necesita una muestra de al menos 2 llantas.

Explicación:

Si la media muestral está 300 millas por encima de la media verdadera tenemos el siguiente estadístico de prueba:

$z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{300}{\frac{216,4}{\sqrt{800}}}=39,2$

Valor que está fuera de la gráfica de la campana de gauss de la estadística N(0,1) ya que las tablas solo muestran hasta z=3. Por lo que la probabilidad es practicamente nula.

Ahora tenemos que encontrar el valor para el cual en el 95% de los casos la media muestral no está a más de 100 millas de la media verdadera. Para ello buscamos en las tablas de distribución normal, el valor para el cual la probabilidad es 0,975 (ya que se supone una probabilidad del 2,5% de estar más de 100 millas por debajo y 2,5% de estar más de 100 millas arriba).

Dicho valor es z=1,96. Queda:

$z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{100}{\frac{216,4}{\sqrt{n}}}=1,96\\\\n=\sqrt{\frac{1,96.216,4}{100}}\\\\n=2,06$

Lo que nos dice que con una muestra de 2 llantas tenemos 95% de probabilidades de estar a no más de 100 millas de la media.