Estadística y Cálculo, pregunta formulada por thuflaco2541, hace 2 meses

Una empresa fabrica y vende x tel ́efonos inteligentes por semana. Las ecua- ciones de precio-demanda y costo semanales son, respectivamente: p = 500 − 0. 5x, y C(x) = 20000 + 135x

Respuestas a la pregunta

Contestado por mary24457181ozqyux

a) Hallar el nivel de producción y ventas óptimos: 1.851 teléfonos inteligentes semanales

b) Hallar el beneficio máximo. 36.61 dólares.

a) En primer lugar, determinamos el nivel de producción óptimo:

$\frac{\partial}{\partial x} \left(p \cdot x - C(x)\right) = 0$$\frac{\partial}{\partial x} \left(500x - 20000 - 135x^2\right) = 0$$500 - 135 \cdot 2x = 0$$500 = 270x$$\frac{500}{270} = x$$\boxed{x = \frac{500}{270} = ~1.851 ~teléfonos}$

Por lo tanto, el nivel de producción óptimo es de 1.851 teléfonos inteligentes semanales. Luego, determinamos el nivel de ventas óptimo, sabiendo que la función de demanda es inversa a la función de costo marginal:

$p = 500 - 0.5 \cdot x$$p = 500 - 0.5 \cdot \frac{500}{270}$$p = 500 - \frac{250}{270}$$p = \frac{5500}{270}$$\boxed{p = \frac{5500}{270} = ~20.37 ~dólares}$

Por lo tanto, el nivel de ventas óptimo es de 20.37 dólares.

b) Para hallar el beneficio máximo, reemplazamos el nivel de producción y ventas óptimo en la función de beneficio:

$\pi(x, p) = p \cdot x - C(x)$$\pi(x, p) = \frac{5500}{270} \cdot \frac{500}{270} - (20000 + 135 \cdot \frac{500}{270})$$\pi(x, p) = \frac{500}{270} \cdot \frac{5500}{270} - \frac{20 135}{270}$$\pi(x, p) = \frac{500 \cdot 5500}{270 \cdot 270} - \frac{20 135}{270 \cdot 270}$$\pi(x, p) = \frac{500 \cdot 5500}{270^2} - \frac{20 135}{270^2}$$\pi(x, p) = \frac{2 750 000}{72900} - \frac{73 900}{72900}$$\pi(x, p) = \frac{2 676 100}{72900}$$\boxed{\pi(x, p) = \frac{2 676 100}{72900} = ~36.61 ~dólares}$