Una empresa fabrica dos artículos A y B a partir de dos materias primas P y Q. Cada unidad de producto requiere las cantidades que indica la siguiente taba. La empresa dispone de un stock de 41u de P y 45u de Q. u= unidades.
a. Demostrar que los vectores (2,1) y (3,5) forman una base de R2
b. Obtén el valor de (λ, β) que permiten que el vector (41,45) forme parte del espacio vectorial formado por (2,1) y (3,5) y que nos indican el número de unidades que podemos fabricar de cada producto para que no existan excedentes.
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a) Demostrar que los vectores A = (2,1) y B = (3,5) forman una base de R2
- Debemos demostrar que ambos vectores son linealmente independientes.
Para que sean linealmente independientes:
k1*v1 + k2*v2 = 0
k1* (2,1) + k2 (3,5) = (0,0)
(2k1 + 3k2 , k1 + 5k2) = (0, 0)
2k1 + 3k2 = 0
k1 + 5k2 = 0
k2 = -(2/3)k1
k1 + 5(-2/3)k1 = 0
k1 - (10/3)k1 = 0
3k1 - 10k1 = 0
-7k1 = 0
k1 = 0 ; k2 = 0
Los vectores son linealmente independientes
- Debemos demostrar que existe un vector v que genera a los vectores (2,1) y (3,5)
v = c1*A + c2*B
v = k1*A + k2*B
Restando ambas ecuaciones:
0 = (c1 - k1)A + (c2 - k2)B
c1 - k1 = 0 ; c2 - k2 = 0
c1 = k1 ; c2 = k2
Las dos expresiones son iguales, entonces los vectores (2,1) y (3,5) forman una base para R2
b) Obtención de (λ,β)
(41,45) = λ(2,1) + β(3,5)
41 = 2λ + 3β
45 = λ + 5β
Despejando λ de la 2da ecuación
λ = 45 - 5β
Sustituyendo en la 1era ecuación
41 = 2(45 + 5β) + 3β
41 = 90 + 10β + 3β
41 - 90 = 13β
β = -49/13
λ = 45 - 5 (-49/13)
λ = 45 + 245/13
λ = 830/13
- Debemos demostrar que ambos vectores son linealmente independientes.
Para que sean linealmente independientes:
k1*v1 + k2*v2 = 0
k1* (2,1) + k2 (3,5) = (0,0)
(2k1 + 3k2 , k1 + 5k2) = (0, 0)
2k1 + 3k2 = 0
k1 + 5k2 = 0
k2 = -(2/3)k1
k1 + 5(-2/3)k1 = 0
k1 - (10/3)k1 = 0
3k1 - 10k1 = 0
-7k1 = 0
k1 = 0 ; k2 = 0
Los vectores son linealmente independientes
- Debemos demostrar que existe un vector v que genera a los vectores (2,1) y (3,5)
v = c1*A + c2*B
v = k1*A + k2*B
Restando ambas ecuaciones:
0 = (c1 - k1)A + (c2 - k2)B
c1 - k1 = 0 ; c2 - k2 = 0
c1 = k1 ; c2 = k2
Las dos expresiones son iguales, entonces los vectores (2,1) y (3,5) forman una base para R2
b) Obtención de (λ,β)
(41,45) = λ(2,1) + β(3,5)
41 = 2λ + 3β
45 = λ + 5β
Despejando λ de la 2da ecuación
λ = 45 - 5β
Sustituyendo en la 1era ecuación
41 = 2(45 + 5β) + 3β
41 = 90 + 10β + 3β
41 - 90 = 13β
β = -49/13
λ = 45 - 5 (-49/13)
λ = 45 + 245/13
λ = 830/13
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