Una empresa de alimentos vende q toneladas de alimentos al precio p dólares cada tonelada, donde p=700-q. Además, los costos diarios C en dólares de producir q toneladas se determinan mediante C= 150q+30 000. Determine la cantidad de toneladas que se debe producir y vender para lograr una utilidad diaria de al menos 45 000 dólares.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
C=300q+80000
I=p.q=(900-0,5q)(q)
I=900q-0,5q²
U=I-C
U=900q-0,5q²- (300q+80000)
U=-0,5q²+600q-80000
-0,5q²+600q-80000 ≥ 20000
-0,5q²+600q-80000-20000 ≥ 0
-1/2q²+600q-100000≥0
-q²+12000q-200000≥0
-q+1000q+200q-200000≥0
-q(q-1000)+200(q-1000)≥0
-(q-1000)(q-200)≥0
(q-1000)(q-200)≤0
q=1000 o q=200
q ∈ [200;1000]
Explicación paso a paso:
En el primer paso utilizamos las formulas de ingreso y utilidad, después se usa la inecuación cuadrática para poder llegar a la respuesta.
Vendiendo y produciendo 250 toneladas diarias o 300 toneladas diarias se obtiene una utilidad de 45.000 dólares.
¿Qué es la utilidad?
En términos generales, la utilidad no es más que los ingresos menos los costos. Esto expresado matemáticamente es:
Utilidad = Ingresos - Costos
Resolviendo:
Primero hallamos la función de ingreso:
I(q) = p*q
I(q) = q*(700 - q)
I(q) = 700q - q²
Planteamos la ecuación de Utilidad.
U(q) = 700q - q²- (150q + 30 000)
U(q) = 700q - q²- 150q - 30 000
U(q) = - q²+ 550q - 30 000
Ahora, igualamos a 45 000 para saber la cantidad de toneladas que se debe producir y vender para lograr una utilidad diaria de al menos 45 000 dólares.
45 000 = - q²+ 550q - 30 000
q² - 550q + 45 0000 + 30 000 = 0
q² - 550q + 75 000 = 0
Hallamos los calores de q:
- q₁ = 250
- q₂ = 300
Concluimos que vendiendo y produciendo 250 toneladas diarias o 300 toneladas diarias se obtiene una utilidad de 45.000 dólares.
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