Una empresa construye acuarios rectangulares en forma de prisma con las siguientes características:
Capacidad: 15 m3.
Altura: 2.5 m.
Los costos de producción en USD / m2 son: 75, 85 y 60 para la base, la cubierta y los laterales, respectivamente.
¿Cuáles son las dimensiones que minimizan el costo de los acuarios? ¿Cuánto cuestan? Para responder esto, siga los siguientes pasos:
Haz un dibujo esquemático de la situación.
¿Cuáles son las variables conocidas y las desconocidas?
Escribe la ecuación de restricción.
Escribe la función objetivo.
Encuentra las dimensiones y el costo mínimo del acuario.
Respuestas a la pregunta
El costo mínimo del acuario es de 2430 USD y se alcanza cuando la base es cuadrada y de 2,45 metros de cada lado.
Explicación:
Para hallar el costo mínimo del acuario y las dimensiones que lo minimizan es necesario realizar algunos pasos.
Variables conocidas y desconocidas, entre las variables conocidas tenemos la altura del acuario y el volumen, con la cual se puede hallar el área de la base:
Las desconocidas son el las dimensiones de la base.
Ecuación de restricción: Es el conjunto de las combinaciones posibles de bienes y servicios que se pueden adquirir gastanto todo el capital de que se dispone, siendo C el monto total asignado para el acuario, esta sería así:
Donde B es el área de la base, T la de la tapa y L la de toda el área lateral. Como la base y la tapa tienen el mismo tamaño hacemos:
Función objetivo:
Ahora tenemos que el volumen del acuario es:
Siendo b1 y b2 las dimensiones de la base, el área lateral:
Reemplazamos estos datos en la función restricción:
Reemplazamos la expresión del área de la base para poner todo en función de una sola variable:
Ahora para hallar el valor de b1 que hace mínimo el costo hay que derivar esta expresión e igualarla a cero
Procedemos:
Para que esta expresión sea nula basta que el numerador lo sea:
Una longitud negativa no tiene sentido así que nos quedamos con la solución positiva.
Con lo que b1=2,45 metros hace mínimo el costo.
En la expresión del volumen hallamos la otra dimensión de la base:
Con lo cual b1=b2=2,45 son las dimensiones de la base que hacen mínimo el costo. Esto da un área de la base de 6 metros cuadrados, reemplazamos en la función restricción:
Con lo cual el costo mínimo del acuario será de 2430USD