Question

Una empresa adquirió un equipo de monitoreo portátil para medir el contenido de sus empaques de azúcar, y se determinó que, en promedio, cada paquete contiene 150 gramos, con una varianza de 120 gramos. Con estos datos en mente se tomó una muestra aleatoria de 40 empaques, y se quiere conocer la probabilidad de que la media muestral esté entre 145 gramos y 153 gramos.

Answer 1

La probabilidad de que la media muestral esté entre 145 gramos y 153 gramos es de 0,9563.

Explicación:

El contenido de azúcar de los paquetes tiene distribución normal con:  

media = μ = 150 g         y         varianza = σ² = 120 g²  

Para hallar probabilidades asociadas a esta distribución se usa una tabla de probabilidades acumuladas calculadas como áreas bajo la curva normal estándar (z).  

Si definimos la variable aleatoria con distribución normal:  

x = contenido de azúcar de los paquetes

Su media muestral también tiene distribución normal y la estandarización para calcular sus probabilidades en la tabla estándar es:  

$z=\frac{(\overline{x}-\mu)\sqrt{n}}{\sigma}$  

En la tabla se obtienen probabilidades acumuladas hasta el valor en estudio, y se denotan:  

$P(\overline{x}<a)=P(z<\frac{(a-\mu)\sqrt{n}}{\sigma})$  

Cuando se trabaja con intervalos, las probabilidades se obtienen por diferencias de las probabilidades acumuladas a la cola izquierda de los extremos de dicho intervalo:  

$P(a<\overline{x}<b)=P(\overline{x}<b)-P(\overline{x}<a)=P(z<\frac{(b-\mu)\sqrt{n}}{\sigma})-P(z<\frac{(a-\mu)\sqrt{n}}{\sigma})$  

En el caso que nos ocupa:

$P(145<\overline{x}<153)=P(\overline{x}<153)-P(\overline{x}<145)= P(z<\frac{(153-150)\sqrt{40}}{\sqrt{120}})-P(z<\frac{(145-150)\sqrt{40}}{\sqrt{120}})$  

$P(145<\overline{x}<153)=P(z<1,73)-P(z<-2,89)=0,9582-0,0019$  

$\mathbf{P(145<\overline{x}<153)=0,9563}$  

La probabilidad de que la media muestral esté entre 145 gramos y 153 gramos es de 0,9563.