Question

Una elipse tiene centro en (-4,-2), y un foco está en (6,-2); además pasa por el punto Q(-4,-7).Hallar la ecuación canónica de la elipse y comprobar con Geogebra.

Answer 1

Primero que nada tenemos que tener en cuenta como luce la ecuación canónica de la elipse para luego ir introduciendo los datos.

La ecuación canónica de la elipse tiene la siguiente forma: 

$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ donde h y k son las coordenadas x y y del centro. 

Paso 1: Introduzcamos los datos que nos dan empezando por el centro:

Si el centro es (-4,-2) quiere decir que h = -4 y k = -2 

sustituyendo esos valores en la ecuación inicial:

recordando que x-h = x -(-4) = x +4 y análogamente se procede con k tenemos:

$\frac{(x+4)^2}{a^2} + \frac{(y+2)^2}{b^2} = 1$  

Paso 2:  es recordar la propiedad geométrica de las elipses producto del teorema de pitagoras , como el foco está 10 unidades a la izquierda del centro entonces c^2 = 100. por lo que a^2 - b^2  = 10^2 

Paso 3: es usar el punto que nos dieron en la ecuación de la elipse con el centro ya definido. 

$\frac{(-4+4)^2}{a^2} + \frac{(-7+2)^2}{b^2} = 1$
 
por lo que 
$\frac{(-5)^2}{b^2} = 1$

por lo tanto: $b^2 = 25$ 

luego sustituimos

$a^2 = c^2 + b^2 = 125$

ahora ya tenemos todos los ingredientes para generar la ecuación canónica de la elipse. 

sustituyendo estos valores en la ecuación original ($a^2, b^2$, y el centro) podemos escribir la ecuación :

$\frac{(x+4)^2}{125} + \frac{(y+2)^2}{25} = 1$