Question

Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, de la forma y´´+a_1 (x)y´+a_2 (x)y=m(x), tiene dos soluciones independientes, donde se pueden presentar tres casos: a) Soluciones reales y distintas, b) Soluciones iguales y reales y c) Soluciones complejas y conjugadas.

De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles tienen soluciones reales e iguales.

1. y´´-16y=0
2. y´´+6y´-7y=0
3. y´´-20y´+100y=0
4. y´´+4y´+4y=0

Teniendo en cuenta, que la solución de una ecuación diferencial de la forma ay^''+by^'+cy=0 , se puede hallar mediante la ecuación característica o auxiliar, donde por ser de segundo orden tiene dos soluciones, los valores de y_1,y_2 de la siguiente ecuación diferencial y^''+y^'+y=0 corresponden a:


1. e^((-x)/2) c_1 cos⁡〖√3/2 x〗
2. e^((-x)/2) c_2 sen⁡〖√3/2 x〗
3. e^((-x)/2) (c_1+c_2)
4. (c_1 cos⁡〖√3/2 x〗+c_2 sin⁡〖√3/2 x〗)

Answer 1

Hola

La ecuación uno (1.) tiene soluciones reales y distintas

La ecuación dos(2.) tiene soluciones reales y distintas

La ecuación tres(3.) tiene soluciones reales e iguales  

La ecuación cuatro(4.) tiene soluciones reales e iguales

Teniendo en cuenta que su solución es una parte real e igual y otra real y distinta la forma de la ecuación cambia absolutamente, por lo que se ve reflejado en las soluciones de esa forma, en la primera son reales y diferentes por ello la presencia de la raíz, la dos igual a la primera, luego tenemos a la 3 y 4 que es reale e iguale y tiene esa forma.

ÉXITO!