Question

Una curva de velodromo tiene 50 m de radio. Suponiendo que no existe rozamiento , calcula:La máxima velocidad con la que un ciclista puede tomar la curva sin derrapar si esta peraltada un ángulo de 30°El ángulo de peralte necesario para que el ciclista pueda tomar la curva a una velocidad de 80km/h

Answer 1

Buenas tardes, 

Para iniciar el análisis del problema, debemos primero extraer los datos suministrados y establecer un diagrama de fuerzas, a partir del cual se realicen las relaciones necesarias, el cual te adjunto en una imagen en conjunto con el planteamiento teórico de esta respuesta.Tenemos entre los datos generales el radio de la curva a describir, de 50 m. Con ello procedemos a resolver cada inciso, partiendo con la segunda interrogante, de la cual se puede extraer con facilidad la interpretación de la primera:

(b) Según el diagrama de fuerzas planteado, al no tomar en cuenta el rozamiento, únicamente tendremos la Fuerza Normal, la cual con el ángulo de peralte se extrae una componente en dirección ax y otra en ay, e igualmente se tiene el peso. Para este estudio asumiremos que únicamente existe aceleración en ax que coincidirá con la dirección an, de modo que al realizar las sumatorias de fuerza, se tiene que:

∑ Fy = 0 ∴ Ny - P = 0 ∴ Con Ny como al componente de N en función del coseno del ángulo de peralte, siendo la sumatoria igual a cero al aclarar que en dicha dirección no existirá aceleración, de modo que:

N*cosθ = m*g ... Expresión (1)

∑ Fx = 0 ∴ Nx = m*an  ∴ Donde Nx representa la componente de N en dirección ax dependiente del seno del ángulo de peralte, y en cuya dirección al definirse la aceleración, la misma dependerá de la velocidad y el radio de la curvatura a recorrer, de modo que:

N*senθ = m*$\frac{ V^{2} }{r}$ .... Expresión (2)

Combinando las expresiones 1 y 2, es posible despejar el ángulo de peralte requerido, conocida la velocidad la cual se lleva a unidades convencionales de m/s, el radio de la curva y la constante de gravedad, se plantea el cálculo final:

$V = 80 km/h * \frac{1h}{3600s} * \frac{1000m}{1km} = 22,22 m/s$

θ = $tan^{-1}(\frac{ V^{2} }{r*g}) = tan^{-1}(\frac{ (22.22)^{2} }{50*9.8}) = 45.217154 grados$

(a) Para este apartado, conocido ya el ángulo de peralte, el radio de la curva a recorrer, igualmente con las expresiones 1 y 2 vistas anteriormente, se plantea el cálculo recorrido:

$V = \sqrt{tan(angulo de peralte)*r*g} = \sqrt{tan(30)*50*9.8}$

Finalmente la velocidad requerida en unidades convencionales de metros respecto a segundos es de 16,8196799 m/s.

Espero haberte ayudado.