Question

Una cuerda de violín de = 31,6 cm de longitud y = 0,65 g⁄m de densidad de masa lineal se afina para tocar una nota La4 a 440,0 Hz. Esto significa que la cuerda se encuentra en su modo de oscilación fundamental, es decir, estará en esa nota sin colocar ningún dedo en ella.
A partir de esta información calcule la tensión en la cuerda que permite mantenerla afinada.

B. Si el punto medio de la cuerda se desplaza 1,80 mm de manera transversal cuando se encuentra en el modo fundamental, ¿cuál es la rapidez máxima á del punto medio de la cuerda?

C. Si comparamos el La4 actual de 440,0 Hz con el La4 de 422,5 Hz de la época de Handel, ¿en qué porcentaje deberá variarse la tensión de la cuerda del violín con respecto a la actual para afinar la nota a 422,5 Hz?

Answer 1

La tensión en la cuerda del violín para mantenerla afinada es de 50,3 N, el punto medio de la cuerda tendrá una rapidez máxima de 4,98 metros por segundo y si se quiere afinar la nota La a 422,5 Hz, la tensión en la cuerda tiene que bajar un 7,8%.

Explicación:

a) Si la cuerda está en el modo fundamental, la longitud de onda es el doble de la longitud L y la velocidad de propagación es:

$\delta.f=v\\2L.f=v\\v=2.0,316m.440Hz=278\frac{m}{s}$

Y la tensión en la cuerda para mantenerla afinada es:

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\\\\T=v^2.\mu=(278\frac{m}{s})^2.0,00065\frac{kg}{m}\\\\T=50,3N$

b) El punto medio de la cuerda estará realizando un movimiento oscilatorio armónico cuya frecuencia será de 440 Hz, si w es la pulsación angular y A es la amplitud, la velocidad es:

$v=w.A.cos(wt)$

Y como la función coseno puede valer como máximo 1, la velocidad máxima es:

$v=w.A=2\pi.f.A=2\pi.440Hz.0,0018m\\\\v=4,98\frac{m}{s}$

c) Si la frecuencia baja a 422,5 Hz, la nueva velocidad de propagación es:

$v=\lambda.f=2L.f=2.0,316m.422,5Hz=267\frac{m}{s}$

Y la nueva tensión en la cuerda es:

$T=v^2\mu=(267\frac{m}{s})^2.0,00065\frac{kg}{m}\\\\T=46,3N$

Entonces la variación porcentual de la tensión es:

$\eta=\frac{46,3N-50,3N}{50,3N}.100\%\\\\\eta=8,8\%$