Question

Una cuerda de la circunferencia x+8^2+y-6^2=25 esta sobre la recta cuya ecuacion es x+3y-5 hallar la longitud de la cuerda

Answer 1

Hola!

Datos: $(x+8)^{2} +(y-6)^{2} =25$ ecuación de la circunferencia

x + 3y -5 = 0 ecuación de la recta, de aquí podemos despejar "x" y sustituirlo en la ecuación de la circunferencia para hallar los puntos de intersección de la recta con la circunferencia ---> x = 5 - 3y

$(5-3y+8)^{2} +(y-6)^{2} =25---->(13-3y)^{2} +(y-6)^{2} =25$ resolviendo y agrupando términos semejantes nos queda: $169-78y+9y^{2} +y^{2} -12y+36 =25-->10y^{2} -90y+180=0$ reescribiendo la ecuación $y^{2} -9y+18=0$

de aquí obtenemos dos valores de "y" que son los valores de los puntos mencionados anteriormente, $y_{1} =6$ y $y_{2} =3$ los puntos correspondientes serán: $P_{1} =(a,3)$ y $P_{2} =(b, 6)$ donde los valores de a y b los obtenemos sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación de la recta x = 5 - 3y, esto es: $a = 5 - 3(3)=-4$ y $b = 5 - 3(6)=-13$

Por lo tanto los puntos de intersección de la recta con la circunferencia son:$P_{1} =(-4,3)$ y $P_{2} =(-13, 6)$

La longitud de la cuerda es el segmento $P_{1} P_{2}$: $P_{1} P_{2} =\sqrt{(X_{2}-X_{1})^2+(Y_{2}-Y_{1})^2} = \sqrt{((-13)-(-4))^2+(6-3)^2}$

$P_{1} P_{2} = \sqrt{(-9)^2+(3)^2} =3\sqrt{10}$

Espero te sirva... Salu2!!