Matemáticas, pregunta formulada por zardila6609, hace 1 año

una cuerda de 8,40 m. se ha dividido en trozos , de modo que sus longitud forman una progrion aritmetica de diferencia o razon 2 y el menor trozo mide 20 cm . en cuantos trozos se ha dividido la cuerda¨

Respuestas a la pregunta

Contestado por juance
1

Primero pasamos los metros a centímetros.


8,40 m = 840 cm


La fórmula general para las progresiones aritméticas es la siguiente:


 A_{n} = A_{1} +d(n-1)


Donde:


 A_{n} : Es el elemento buscado en la posición n.


A₁: Es el primer elemento de la sucesión.

A₁ = 20


d: Es la diferencia entre un elemento y el anterior.

d = 2


n: Marca la posición de cierto elemento.


Saber cuántos pedazos se cortaron es equivalente a saber en qué posición se encuentra el último pedazo cortado, y para eso tenemos que calcular el valor de "n".


Para resolver esto, también tenemos que saber la fórmula de la sumatoria de los "n" primeros términos, y es la siguiente:


 S_{n} = \frac{n(A_{1}+A_{n})}{2}



Primero, vemos cómo queda la fórmula general con los datos que tenemos.


 A_{n} = A_{1} +d(n-1)\\ \\ A_{n} = 20 +2(n-1)\\ \\ A_{n} = 20 +2n-2


 A_{n} = 18 +2n ---> Se reemplazará " A_{n} " por "18+2n" en la fórmula de la sumatoria.



 S_{n} = \frac{n(A_{1}+A_{n})}{2}\\ \\ 840= \frac{n(20+18+2n)}{2}\\ \\ 840*2 = 20n+18n+2n^{2}


 1680 = 38n+2n^{2} ---> Igualamos a cero.


 0 = 38n+2n^{2}-1680 ---> Simplificamos dividiendo todo por 2 y reacomodamos.


 n^{2}+19n-840 = 0



Nos quedó una ecuación cuadrática del estilo "ax²+bx+c = 0", y una forma de resolverla es aplicando la siguiente fórmula llamada Resolvente:


 x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}


Sabiendo esto, resolvemos.


n²+19n-840 = 0

a    b     c


a = 1

b = 19

c = -840


 n = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ \\ n = \frac{-19\pm\sqrt{19^{2}-4*1*(-840)}}{2*1}\\ \\ n = \frac{-19\pm\sqrt{361+3360}}{2}\\ \\ n = \frac{-19\pm\sqrt{3721}}{2}\\ \\ n = \frac{-19\pm61}{2}\\ \\ n = \frac{-19+61}{2}= \frac{42}{2} = 21\\ \\ n = \frac{-19-61}{2}= \frac{-80}{2} = -40


Al ser una ecuación cuadrática, tuvimos 2 resultados distintos, pero como estamos hablando de cantidad, y la cantidad no puede ser negativa, tomamos el valor positivo.


Entonces:


n = 21 ---> Último elemento de la sucesión, por lo tanto, se cortaron 21 trozos.


RTA: Se ha dividido en 21 trozos.



Se puede comprobar por medio de la ecuación general y de la sumatoria.


Por medio de la ecuación general, podemos saber cuánto mide cada trozo.


 A_{n} = A_{1} +d(n-1)\\ \\ A_{21} = 20 +2(21-1)\\ \\ A_{21} = 20 +2*20


 A_{21} = 60 ---> El último trozo mide 60 cm.



Y por medio de la sumatoria, podemos comprobar que la suma de la longitud de los 21 trozos da 840 cm.


 S_{n} = \frac{n(A_{1}+A_{n})}{2}\\ \\ S_{21} = \frac{21(20+60)}{2}\\ \\ S_{21} = \frac{21*80}{2}\\ \\ S_{21} = 840



Saludos desde Argentina.


Piscis04: Excelente desarrollo :)
juance: Gracias :)
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