Question

una cuerda de 8,40 m. se ha dividido en trozos , de modo que sus longitud forman una progrion aritmetica de diferencia o razon 2 y el menor trozo mide 20 cm . en cuantos trozos se ha dividido la cuerda¨

Answer 1

Primero pasamos los metros a centímetros.

8,40 m = 840 cm

La fórmula general para las progresiones aritméticas es la siguiente:

$A_{n} = A_{1} +d(n-1)$

Donde:

$A_{n}$: Es el elemento buscado en la posición n.

A₁: Es el primer elemento de la sucesión.

A₁ = 20

d: Es la diferencia entre un elemento y el anterior.

d = 2

n: Marca la posición de cierto elemento.

Saber cuántos pedazos se cortaron es equivalente a saber en qué posición se encuentra el último pedazo cortado, y para eso tenemos que calcular el valor de "n".

Para resolver esto, también tenemos que saber la fórmula de la sumatoria de los "n" primeros términos, y es la siguiente:

$S_{n} = \frac{n(A_{1}+A_{n})}{2}$

Primero, vemos cómo queda la fórmula general con los datos que tenemos.

$A_{n} = A_{1} +d(n-1)\\ \\ A_{n} = 20 +2(n-1)\\ \\ A_{n} = 20 +2n-2$

$A_{n} = 18 +2n$ ---> Se reemplazará "$A_{n}$" por "18+2n" en la fórmula de la sumatoria.

$S_{n} = \frac{n(A_{1}+A_{n})}{2}\\ \\ 840= \frac{n(20+18+2n)}{2}\\ \\ 840*2 = 20n+18n+2n^{2}$

$1680 = 38n+2n^{2}$ ---> Igualamos a cero.

$0 = 38n+2n^{2}-1680$ ---> Simplificamos dividiendo todo por 2 y reacomodamos.

$n^{2}+19n-840 = 0$

Nos quedó una ecuación cuadrática del estilo "ax²+bx+c = 0", y una forma de resolverla es aplicando la siguiente fórmula llamada Resolvente:

$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sabiendo esto, resolvemos.

n²+19n-840 = 0

a    b     c

a = 1

b = 19

c = -840

$n = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ \\ n = \frac{-19\pm\sqrt{19^{2}-4*1*(-840)}}{2*1}\\ \\ n = \frac{-19\pm\sqrt{361+3360}}{2}\\ \\ n = \frac{-19\pm\sqrt{3721}}{2}\\ \\ n = \frac{-19\pm61}{2}\\ \\ n = \frac{-19+61}{2}= \frac{42}{2} = 21\\ \\ n = \frac{-19-61}{2}= \frac{-80}{2} = -40$

Al ser una ecuación cuadrática, tuvimos 2 resultados distintos, pero como estamos hablando de cantidad, y la cantidad no puede ser negativa, tomamos el valor positivo.

Entonces:

n = 21 ---> Último elemento de la sucesión, por lo tanto, se cortaron 21 trozos.

RTA: Se ha dividido en 21 trozos.

Se puede comprobar por medio de la ecuación general y de la sumatoria.

Por medio de la ecuación general, podemos saber cuánto mide cada trozo.

$A_{n} = A_{1} +d(n-1)\\ \\ A_{21} = 20 +2(21-1)\\ \\ A_{21} = 20 +2*20$

$A_{21} = 60$ ---> El último trozo mide 60 cm.

Y por medio de la sumatoria, podemos comprobar que la suma de la longitud de los 21 trozos da 840 cm.

$S_{n} = \frac{n(A_{1}+A_{n})}{2}\\ \\ S_{21} = \frac{21(20+60)}{2}\\ \\ S_{21} = \frac{21*80}{2}\\ \\ S_{21} = 840$

Saludos desde Argentina.