Question

Una cuerda conectada en un extremo a un bloque que puede deslizarse sobre un plano inclinado tiene su otro extremo enrollado alrededor de un cilindro, que descansa en una depresión en la parte superior del plano, como se muestra en la figura adjunta. Determine la rapidez del bloque después de que haya viajado 1.80 m a lo largo del plano, partiendo del reposo. Suponga que no hay fricción

Considere:

g = 9.8 m/s2

I = ½ MR2

Answer 1

Después de caer 1,8 metros por el plano inclinado, el bloque tiene una velocidad de 1,57 metros por segundo.

Explicación:

Sobre el bloque actua la componente del peso paralela al plano inclinado, y la tensión de la cuerda, aplicando la segunda ley de Newton queda:

$mg.sen(27\°)-T=ma$

Pero la tensión de la cuerda ejerce un torque sobre el cilindro de donde se está desenrollando la cuerda, este torque es:

$\tau=I.\alpha\\\\T.R=I.\alpha$

Donde la aceleración tangencial que es igual a la aceleración del bloque es:

$a=\alpha.R\\\\\alpha=\frac{a}{R}$

Y la tensión de la cuerda queda:

$TR=I\frac{a}{R}\\\\T=\frac{Ia}{R^2}$

Reemplazamos esta expresión en la ecuación de la suma de fuerzas para el bloque para calcular la aceleración:

$mg.sen(27\°)-\frac{Ia}{R^2}=ma\\\\mg.sen(27\°)=ma+\frac{Ia}{R^2}\\\\a=\frac{mg.sen(27\°)}{m+\frac{I}{R^2}}=\frac{mg.sen(27\°)}{m+\frac{\frac{1}{2}MR^2}{R^2}}=\frac{mg.sen(27\°)}{m+\frac{1}{2}M}=\frac{3kg.9,81\frac{m}{s^2}.sen(27\°)}{3kg+\frac{1}{2}.33kg}\\\\a=0,685\frac{m}{s^2}$

Con esta aceleración, tenemos que el bloque describe un movimiento uniformemente acelerado con velocidad inicial nula, por lo que empezamos hallando el tiempo en que recorre 1,8 metros:

$x=\frac{1}{2}at^2\\\\t=\sqrt{\frac{2x}{a}}=\sqrt{\frac{2.1,8m}{0,685\frac{m}{s^2}}}\\\\t=2,29s$

Y la velocidad cuando el bloque recorrió 1,8 metros es:

$v=at=0,685\frac{m}{s^2}.2,29s=1,57\frac{m}{s}$