Question

Una compañía tiene un contrato para la elaboración de 10000 cajas de madera cerrada cuyas dimensiones serán de 3m, 4m, 5m. El costo de madera es de 3bs por metro cuadrado. Si al cortar la madera se genera un error posible de 0.5cm en cada dimensión. Calcule aproximadamente, utilizando diferencial total, el mayor error posible en la estimación del costo de la madera.

Answer 1

El mayor error posible en la estimación del costo de la madera, utilizando diferencial total, es  7200  bs,  aproximadamente.

¿Qué es un diferencial total?

En una función multivariada, la diferencial total es una función formada por la suma de los diferenciales parciales de la misma.

Los diferenciales parciales son las variaciones producidas en la variable respuesta producto de las variaciones en cada una de las variables independientes. Se calculan por el producto de la derivada parcial con respecto a cada variable y el diferencial de esta variable.

¿Cómo se calcula el Área lateral?

El área lateral de cada caja se calcula por la suma de las áreas de cada cara. La caja es un prisma cuadrangular de dimensiones  x  m,  y  m,  z  m; de  6  caras rectangulares iguales dos a dos, por tanto, el área  A  viene dada por:

A  =  2 x y  +  2 x z  +  2 y z

¿Cómo se calcula el costo de una caja?

El costo de madera es de  3  bs por metro cuadrado, por tanto, el costo  C  de la caja es el producto del área lateral por este costo:

C  =  6 x y  +  6 x z  +  6 y z

El planteamiento indica que debemos calcular el mayor error que se puede cometer al calcular el costo de la madera con los datos proporcionados.

Para este cálculo, aplicamos el concepto del diferencial total; conociendo que el diferencial del costo depende de las dimensiones y de sus diferenciales.

$\bold{dC~=~\dfrac{\partial C}{\partial x}\cdot dx~+~\dfrac{\partial C}{\partial y}\cdot dy~+~\dfrac{\partial C}{\partial z}\cdot dz}$

Vamos a calcular las derivadas parciales de la función costo y aplicar la fórmula, sustituyendo los valores dados para conocer el error en el costo de una caja.

$\bold{\dfrac{\partial C}{\partial x}~=~6~y~+~6~z}$

$\bold{\dfrac{\partial C}{\partial y}~=~6~x~+~6~z}$

$\bold{\dfrac{\partial C}{\partial z}~=~6~y~+~6~x}$

Sustituimos en la diferencial total

$\bold{dC~=~(6~y~+~6~z)\cdot dx~+~(6~x~+~6~z)\cdot dy~+~(6~y~+~6~x)\cdot dz}$

Sabemos que

• x  =  3  m            dx  =  0.005  m
• y  =  4  m            dy  =  0.005  m
• z  =  5  m            dz  =  0.005  m  

Evaluamos la diferencial total

$\bold{dC~=~[6(4)+6(5)]\cdot(0.005)+[6(3)+6(5)]\cdot(0.005)+[6(4)+6(3)]\cdot(0.005)}$

dC  =  0.72  bs

El mayor error posible que se puede cometer al calcular el costo de una caja es de  ±0.72  bs, aproximadamente.

Para conocer el error en el total de la madera a comprar, multiplicamos el error en una caja por el total de cajas

Error en la estimación del costo  =  (0.72)(10000)  =  7200  bs

El mayor error posible en la estimación del costo de la madera, utilizando diferencial total, es  7200  bs,  aproximadamente.

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