Question

Una compañía produce bombillos en tres fábricas A, B, C.  La fabrica A produce el 40% del número total de bombillos, de los cuales el 2% son defectuosos; la fabrica B produce el 35% del número total de bombillos, de los cuales el 4% son defectuosos; la fabrica C produce el 25% del número total de bombillos, de los cuales el 3% son defectuosos. Se encuentra un bombillo defectuoso en la producción total. Encuentre la probabilidad de que este provenga de: a) La fabrica A. Rta: 0.2712 ó 27.12% b) La fabrica B. Rta: 0.4746 ó 47.46% c) La fabrica C. Rta: 0.2542 ó 25.42%

Answer 1

La probabilidad de que el bombillo defectuoso provenga de la fábrica A es de 27,12%

La probabilidad de que el bombillo defectuoso provenga de la fábrica B es de 47,46%

La probabilidad de que el bombillo defectuoso provenga de la fábrica C es de 25,42%

Explicación paso a paso:

Para resolver este ejercicio se utiliza el teorema de Bayes, ya que tenemos un probabilidad condicionada, dentro de una probabilidad compuesta, para entender mejor se realiza un diagrama de árbol, ver imagen adjunta

Calculo de la probabilidad de que el bombillo defectuoso sea de la fábrica A.

$P(A/D) = \frac{P(D/A)*P(A)}{P(D)}$

Vamos a entender un poco esta ecuación:

P(A/D), es la probabilidad de que el bombillo defectuoso entre el total de todas las fábricas, haya sido fabricado por A.

P(D/A), es la probabilidad de que el sea bombillo defectuoso una vez fabricado por A.

Esta probabilidad, viene en el enunciado, nos dicen que del 40% de bombillos que fabrica A, el 2% son defectuosos, por lo tanto:

P(D/A) = 2% o 0,02

P(A), es la probabilidad de que el bombillo sea fabricado por A.

La probabilidad de que un bombillo sea fabricado por A es del 40%, ya que nos dicen que la fábrica a produce 40% del total de bombillos.

P(A) = 40% o 0,4

P(D), es la probabilidad de que el bombillo sea defectuoso

Esta probabilidad hay que calcular, el bombillo defectuoso puede venir de la fábrica A, B o C, en el diagrama de árbol está representado por el color rojo, es bueno recordar que la probabilidad de 2 o 3 ramas es la suma de la rama 1 + rama 2 + rama 3, por lo tanto:

P(D) = 0,40*0,02 + 0,35*0,04 + 0,25*0,03

P(D) = 0,0295

Esto representa la probabilidad de que el bombillo sea defectuoso.

Teniendo todos los datos se sustituyen en el teorema de Bayes.

$P(A/D) = \frac{0,02*0,40}{0,0295}$

P(A/D) = 0,2712 ≈ 27,12%

La probabilidad de que el bombillo defectuoso provenga de la fábrica A es de 27,12%

Calculo de la probabilidad de que el bombillo defectuoso sea de la fábrica B.

$P(B/D) = \frac{P(D/B)*P(B)}{P(D)}$

P(D/B), es la probabilidad de que el sea bombillo defectuoso una vez fabricado por B.

Esta probabilidad, viene en el enunciado, nos dicen que del 35% de bombillos que fabrica B, el 4% son defectuosos, por lo tanto:

P(D/B) = 4% o 0,04

P(B), es la probabilidad de que el bombillo sea fabricado por B.

La probabilidad de que un bombillo sea fabricado por B es del 35%, ya que nos dicen que la fábrica B produce 35% del total de bombillos.

P(B) = 35% o 0,35

Se toma P(D) del caso anterior ya que es el mismo valor, se sustituye en la ecuación de Bayes.

$P(B/D) = \frac{0,04*0,35}{0,0295}$

P(B/D) = 0,4746 ≈ 47,46%

La probabilidad de que el bombillo defectuoso provenga de la fábrica B es de 47,46%

Calculo de la probabilidad de que el bombillo defectuoso sea de la fábrica C.

$P(B/C) = \frac{P(D/C)*P(C)}{P(D)}$

P(D/C), es la probabilidad de que el sea bombillo defectuoso una vez fabricado por C.

Esta probabilidad, viene en el enunciado, nos dicen que del 25% de bombillos que fabrica C, el 3% son defectuosos, por lo tanto:

P(D/C) = 3% o 0,03

P(C), es la probabilidad de que el bombillo sea fabricado por B.

La probabilidad de que un bombillo sea fabricado por C es del 35%, ya que nos dicen que la fábrica C produce 25% del total de bombillos.

P(C) = 35% o 0,35

Se toma P(D) del caso anterior ya que es el mismo valor, se sustituye en la ecuación de Bayes.

$P(C/D) = \frac{0,03*0,25}{0,0295}$

P(C/D) = 0,2542 ≈ 25,42%

La probabilidad de que el bombillo defectuoso provenga de la fábrica C es de 25,42%