Question

Una compañía encuentra que los costos de producir x unidades están dados por la ecuación c(x) = 2000 + 40x + x ^ 2 El precio de venta de cada unidad es de L 130 a) Encuentre la función de utilidad. b) Encuentre el numero de unidades que deben venderse para que la compañía no obtenga perdidas c) Encuentre la cantidad de unidades que deben venderse para poder obtener la utilidad máxima. d) Encuentre la utilidad máxima e) Grafique la función de utilidad​

Answer 1

De los costos de producción de una compañía se obtiene:

a) La función de utilidad es:

   U(x) =  - x² + 90x - 2000

b) El número de unidades que deben venderse para no obtenga perdidas es:

   40 o 50

c) La cantidad de unidades que deben venderse para obtener la utilidad máxima es:

d) La utilidad máxima es:  L 25

e) La gráfica de la función utilidad​ se puede ver en la imagen adjunta.

¿Qué es la utilidad?

La ganancia o utilidad se define como la diferencia entre los ingresos y los costos.

U = I - C

Siendo;

• Los ingresos son el producto del precio de la venta de un producto por la cantidad vendida.

       I = p × q

• Los costos son el precio de producir cada producto por la cantidad de productos. El costo puede ser la suma de costos variables y fijos.

        C = Cf + Cv

¿Cómo obtener máximos y mínimos?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

a) ¿Cuál es la función utilidad?

Siendo;

• Costo: C(x) = 2000 + 40x + x²
• Ingreso: I(x) = 130x

Sustituir en U(x);

U(x) = 120x - 2000 - 40x - x²

U(x) =  - x² + 90x - 2000

b) ¿Cuál es el número de unidades que deben venderse para que la compañía no obtenga perdidas?

U(x) = 0

- x² + 90x - 2000 = 0

Aplicar la resolvente;

$x_{1,2}=\frac{-90\pm\sqrt{90^{2}-4(-1)(-2000)}}{2(-1)}\\\\ x_{1,2}=\frac{-90\pm\sqrt{100}}{-2}\\\\x_{1,2}=\frac{-90\pm10}{-2}$

x₁ = 40

x₂ = 50

c) ¿Cuál es la cantidad de unidades que deben venderse para poder obtener la utilidad máxima?

Aplicar primera derivada;

U'(x) = d/dx (- x² + 90x - 2000)

U'(x) = -2x + 90

Aplicar segunda derivada;

U''(x) = d/dx (-2x + 90)

U''(x) = -2 ⇒ Máximo relativo

Igualar a cero U'(x);

-2x + 90 = 0

2x = 90

x = 90/2

x = 45

d) ¿Cuál es la utilidad máxima?

Evaluar x = 45;

U(max) = - (45)² + 90(45) - 2000

U(max) = L 25

Puedes ver más sobre utilidad aquí:

https://brainly.lat/tarea/59043121

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