Question

Una compañía encuentra que el costo de producir x artículos diarios está dado por la ecuación c(x)=420-0.8x+0.002x^2. ¿Cuántos artículos se deben producir diariamente para que el costo sea mínimo?

Answer 1

El minimo se encuentra con el uso de las derivadas.
Se deriva la funcion :
$c(x)=420-0.8x+0.002x^2 \\ \\ c'(x)=-0.8+2(0.002x) \\ \\c'(x)=-0.8+ 0.004x \\ \\ \\ \text{A laprimera derivada se le iguala a cero y se resuelve} \\ \\-0.8+0.004x \\ \\ x= \frac{0.8}{0.004} \\ \\ \bf x=200$

Se obtiene la segunda derivada y se susbtituye el valor encontrado de x ( si aplica).

Segunda derivada:
$c'(x)=-0.8+ 0.004x \\ \\ c"(x)=0.004$

No se puede susbtituir el valor de x, sin embargo , nos da positivo,indicandonos que se tiene el minimo

Lo que resta es obtener el valor de la funcion con el valor de x encontrado en la primera derivada para determinar el valor minimo de la funcion:

$x=200 \\ \\ c(x)=420-0.8x+0.002x^2 \\ \\ c(x)=420-0.8(200)+0.002(200)^2 \\ \\ c(x)=340$

El costo minimo es de 340 que corresponde a  una produccion de  200 articulos, menos de 200 articulos a mas de 200 articulos eleva el costo de produccion.

Anexo la grafica en donde se ve el punto de 200 articulos que corresponde al costo minimo de 340 .