Una compañía determina que puede vender todas sus unidades a que produce a $2 cada una. Se estima que la función del costo de producción (en dólares) es de
C=1000+x/5000
Encuentre:
a) La expresión de la Utilidad.
b) El volumen de producción que se debe obtener para alcanzar la utilidad máxima.
c) Monto del volumen máximo.
Respuestas a la pregunta
Según la función del costo de producción y el precio de venta de las unidades de una compañía, la expresión de la utilidad es la función lineal U=1.9998x-1000 y para alcanzar mayor utilidad debe aumentarse el volumen de producción, siempre que se aumente el volumen de producción se obtendrán más utilidades.
a) La utilidad de la producción es la ganancia que se obtiene al vender la mercancía o producto que se esté produciendo. La ganancia se determina restando lo que se obtiene por la venta de los productos menos el costo de hacer esos productos.
Si se venden x unidades, como el precio de venta de las unidades es de $2 cada una, al vender esas unidades se obtiene:
Venta=2x
Luego, la ganancia o utilidad se obtiene al restarle el costo C a ese ingreso por ventas:
Utilidad=Venta-C
Utilidad=2x-(1000+x/5000)=2x-x/5000-1000
Utilidad=1.9998x-1000
b) Alcanzar la utilidad máxima quiere decir alcanzar el punto x en el que la función Utilidad toma su máximo valor, para eso derivamos nuestra expresión de utilidad para ver dónde se vuelve cero:
d/dx(Utilidad)=d/dx(1.9998x-1000)=1.9998-0
d/dx(Utilidad)=1.9998
Como se obtuvo como resultado una constante, esto lo que quiere decir es que no se tendrá un punto máximo de utilidad, siempre se puede obtener más utilidad fabricando más productos. Tiene sentido, ya que la función utilidad es una función lineal.
c) El monto del volumen máximo se obtendrá sustituyendo igualando la expresión de la utilidad al valor que se desee obtener, y a partir de ahí despejar el valor de cuántas unidades x se necesitan. Mientras más se produzca, más se ganará.