Una compañía de transporte con una tarifa de $20, transporta 8000 pasajeros por
día, al considerar un aumento de la tarifa la compañía determina que perderá 800
pasajeros por cada $5 de aumento en estas condiciones ¿Cuál debe ser el aumento para que el ingreso sea máximo? y ¿Cuál será el costo del boleto?
Respuestas a la pregunta
El aumento debe ser igual a $150, y por lo tanto el costo del boleto sera de $170
Con una tarifa de $20 transporta 8000 pasajeros: sea "x" la cantidad que aumenta la compañía, entonces habrá aumentado x/5 (aumentos de $5) y perderá por lo tanto: (x/5)*800 pasajeros
Lo que ganara lo determinamos por f(x) una función que sera: el precio del boleto que serán los $20 más el aumento por la cantidad de pasajeros que serán los 8000 pasajeros menos los que se pierden, es decir:
f(x) = ($20 + x)*(8000 - (x/5)*800)
= ($20 + x)*(8000 - 160x)
= 160000 - 3200*x + 8000x -160x²
= -16x² + 4800x +160000
Para maximizar calculamos la primera derivada e igualamos a cero
f'(x) = -32x + 4800 = 0
x = 4800/32 = $150
Calculamos la segunda derivada: para comprar que es un máximo y no un mínimo o punto silla (si es un máximo al evaluar en el punto nos debe dar un valor negativo)
f''(x) = -32
f''(150) = -32 es negativo entonces es un máximo
Por lo tanto debe aumentarse $150 y el costo del boleto es: $20 + $150 = $170