Question

Una cometa queda atorada en las ramas de la copa de un árbol. Si el hilo de 90 pies de la cometa forma un ángulo de 22° con el suelo, estima la altura del árbol.

Answer 1

La altura del árbol es de aproximadamente 33.71 pies

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

La altura del árbol junto con el suelo donde este se asienta forman un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del árbol donde quedó atorada la cometa en su copa, el lado AC (b) que representa el plano horizontal o del suelo. Donde el hilo de la cometa -atorada en la copa del árbol- forma con el suelo un ángulo de 22° y el lado AC (c) que es la longitud del hilo de la cometa desde el suelo hasta la parte superior del árbol

Donde se pide hallar:

La altura del árbol

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la longitud del hilo de la cometa hasta la copa del árbol y de un ángulo de 22° que este hilo forma con el suelo

Longitud del hilo de la cometa = 90 pies

Ángulo del hilo de la cometa con el suelo = 22°

Debemos hallar la altura del árbol

Si el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

Como sabemos el valor de la hipotenusa -que es la longitud del hilo de la cometa hasta la copa del árbol - y conocemos el ángulo que forma el hilo de la cometa con el suelo de 22° y queremos hallar la altura del árbol -donde se atoró la cometa-, la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo empleamos la razón trigonométrica seno del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { sen(22^o) = \frac{ cateto \ opuesto }{hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(22^o) = \frac{altura \ del \ arbol }{ longitud\ hilo\ cometa } }}$

$\boxed { \bold { altura \ del\ arbol = longitud\ hilo\ cometa\ . \ sen(22^o) }}$

$\boxed { \bold { altura \ del\ arbol =90\ pies \ . \ sen(22^o) }}$

$\boxed { \bold { altura \ del\ arbol =90\ pies \ . \ 0.374606593416 }}$

$\boxed { \bold { altura \ del\ arbol \approx 33.7145\ pies}}$

$\large\boxed { \bold { altura \ del\ arbol \approx 33.71 \ pies}}$

La altura del árbol es de aproximadamente 33.71 pies

Se agrega gráfico