Question

Una clase tiene 6 niñas y 10 niños . Si se escogen 3 al azar , ¿cuál es la probabilidad de que Sean 2 niños y 1 niña?​

Answer 1

El tema es de probabilidad pero hay que usar antes la combinatoria para saber cuántos casos posibles y cuántos casos favorables tenemos en esta elección.

Hay que formar grupos de tres personas que sean 2 niños y 1 niña así que veamos cuántos grupos de 2 niños pueden hacerse con 10 que tiene la clase.

Para ello se usa el modelo combinatorio llamado "combinaciones" y sería así:

COMBINACIONES DE 10 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 2 EN 2 (n)

La fórmula de las combinaciones dice:

                                      $C\ _{m}^n=\dfrac{m!}{n!\times(m-n)!} \\ \\ \\ ...\ sustituyo\ datos\ ...\\ \\ \\ C\ _{10}^2=\dfrac{10!}{2!\times(10-2)!}\\ \\ \\ C\ _{10}^2=\dfrac{10\times9\times8!}{2\times1\times8!}\\ \\ \\ C\ _{10}^2=\dfrac{90}{2}\\ \\ \\ C\ _{10}^2=45$

Hay 45 maneras de agrupar a los 10 niños.

Ahora hay que fijarse en que por cada grupo de niños puede corresponder cada una de las 6 niñas para formar el grupo de 3, cierto?

Por tanto para saber el total de grupos formados por 2 niños y 1 niña solo hemos de multiplicar el resultado anterior por las 6 niñas.

                                      45 × 6 = 270  

270 grupos de 2 niños y 1 niña conforman los casos favorables, es decir, todos los casos que cumplen la condición exigida de que haya dos niños y una niña en el grupo.

Ahora hay que calcular los casos posibles, o sea, todos los casos que pueden darse al elegir 3 personas entre el total de la clase que son 16, sin distinguir entre niños y niñas.

Para ello volvemos al mismo modelo combinatorio y en este caso:

• m = 16
• n = 3

Aplicamos la fórmula:

                                             $C\ _{m}^n=\dfrac{m!}{n!\times(m-n)!} \\ \\ \\ ...\ sustituyo\ datos\ ...\\ \\ \\ C\ _{16}^3=\dfrac{16!}{3!\times(16-3)!}\\ \\ \\ C\ _{16}^3=\dfrac{16\times15\times14\times13!}{3\times2\times1\times13!}\\ \\ \\ C\ _{10}^2=\dfrac{3360}{6}\\ \\ \\ C\ _{10}^2=560$

Tenemos 560 grupos que pueden formarse y que constituyen los casos posibles.

Queda la operación final: aplicar la fórmula general de probabilidad que es el cociente entre casos favorables y casos posibles.

P = Favorables / Posibles = 270 / 560 ... simplificando ... = 27/56

(sería el resultado en fracción)

Si te lo piden en porcentaje solo hay que dividir numerador entre denominador y multiplicar por 100

27 ÷ 56 ≈ 0,482 ... 0,482 × 100 = 48,2%