Question

Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de seleccionar exactamente 2 niñas y 1 niño.

Answer 1

Para el caso de las 6 niñas hay que usar el modelo combinatorio llamado COMBINACIONES y agruparlas de 2 en 2.

Concretamente hay que hacer:

COMBINACIONES DE 6 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 2 EN 2 (n)

La fórmula dice:

$C_m^n=\dfrac{m!}{n!\times (m-n)!} \\ \\ \\ C_6^2=\dfrac{6!}{2!\times (6-2)!} =\dfrac{6\times5\times4!}{2\times1\times4!} =\dfrac{30}{2} =15$

Es decir que hay 15 formas de combinar a las 6 niñas haciendo grupos de 2.

Para formar los grupos de 3, a cada una de esas formas de combinar a las niñas corresponderá uno de los 10 niños así que el total de grupos de 3 que pueden salir de ahí es el producto:

15 × 10 = 150 grupos de 3 donde siempre habrá dos niñas y un niño.

Estos son los llamados casos favorables porque cumplen la condición.

Los casos posibles  (todos los que pueden darse en el experimento) salen de combinar los 16 alumnos de 3 en 3, es decir, todos los casos que pueden salir de elegir 3 alumnos al azar:

• 3 niños
• 3 niñas
• 2 niños y 1 niña
• 2 niñas y 1 niño

Volvemos a usar la misma fórmula:

COMBINACIONES DE 16 ELEMENTOS TOMADOS DE 3 EN 3

$C_{16}^3=\dfrac{16!}{3!\times (16-3)!} =\dfrac{16\times15\times14\times 13!}{3\times2\times1\times13!} =\dfrac{3360}{6} =560$

Con los 16 alumnos se pueden formar un total de 560 grupos de 3

Estos son los casos posibles. Todos los que pueden ocurrir en el experimento.

Finalmente queda dividir los favorables entre los posibles para calcular la probabilidad:

Probabilidad (en fracción) =  150 / 560 →  simplificando → = 15/56

En porcentaje se opera la fracción y el resultado se multiplica por 100
15 ÷ 56 = 0,2678571428571429 ≈ 0,268 →  0,268 × 100 = 26,8%