Question

Una circunferencia tiene como centro el punto (3, -2) y pasa por (1,1) Encuentra la ecuación general de dicha circunferencia​

Answer 1

La ecuación general de la circunferencia solicitada está dada por:  

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-6 x+4y = 0 }}$

Solución

Dado que conocemos las coordenadas del centro del círculo y las coordenadas de un punto dado que pasa por la circunferencia

Siendo el centro el punto:

$\boxed{ \bold { C \ (3,-2) \ \ (h, k)} }$

Y un punto P perteneciente a la circunferencia:

$\boxed{ \bold { P \ (1,1) \ \ (x,y) } }$

Luego para encontrar la ecuación de la circunferencia solicitada debemos determinar su radio

Hallamos el radio del círculo

Siendo el radio cualquier recta que vaya desde el centro del círculo hasta un punto cualesquiera de la circunferencia

Tomamos para hallar el radio del círculo su centro y el  punto dado que pasa por la circunferencia y que por tanto pertenece a la misma y de los cuales conocemos sus coordenadas -ambos dados por enunciado-

Tomando entonces los puntos C (3.-2) y P (1.1)  

Empleamos la fórmula de la distancia entre los puntos para hallar el radio del círculo

$\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Reemplazamos los valores para $\bold{ (x_{1} ,y_{1} ) \ y \ (x_{2} ,y_{2} )}$

$\bold{C (3,-2) \ \ \to (x_{1} , y_{1} )}$

$\bold{P (1,1) \ \ \ \to (x_{2} , y_{2} )}$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{(1-3)^{2} +(1-(-2))^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{(1-3 )^{2} +(1+2)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{(-2)^{2} +3^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{4 + \ 9 } } }$

$\large\boxed{ \bold { radio = \sqrt{ 13 } \ unidades } }$

El radio del círculo es igual a √13 unidades

Para determinar la ecuación general de la circunferencia primero establecemos la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria o canónica

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Determinamos la ecuación ordinaria de la circunferencia

Reemplazando en la ecuación:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h, k) = C (3,-2) y el radio hallado = √13 unidades

$\boxed{ \bold { (x-(3))^2+(y-(-2))^2=\left(\sqrt{13}\right) ^{2} }}$

$\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y+2)^2=\left(\sqrt{13}\right) ^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y+2)^2= 13 }}$

Habiendo encontrado la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia solicitada

Reescribimos en la forma de la ecuación general de la circunferencia

La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:

Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia que hallamos previamente

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado

Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}$

Por tanto

Convertimos

$\large\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y+2)^2= 13 }}$

A la ecuación general de la circunferencia

$\boxed{ \bold { x^{2} -6 x +9+ y^{2} +4y + 4 = 13 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} -6 x +9+ y^{2} +4y + 4 -13 = 0 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-6 x+4y +9 +4 -13 = 0 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-6 x+4y + 13 -13 = 0 }}$

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-6 x+4y = 0 }}$

Concluyendo que la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro

Donde la circunferencia quedó determinada dado que se conocen su centro y el radio

Se adjunta gráfico