Question

Una circunferencia es tangente a la recta 3 − 4 + 17 = 0. Sabiendo que es concéntrica (mismo centro) con la circunferencia 2 + 2 − 4 + 6 − 11 = 0, determina su ecuación.

Answer 1

Respuesta:

20$x^{2}$ + 20$y^{2}$ - 40x + 60y - 39 = 0

Explicación paso a paso:

Supongo que debe ser                                      3x − 4y + 17 = 0

Ecuación general de la recta:                            Ax + By + C = 0

También, supongo que  es                        2$x^{2}$ + 2$y^{2}$ − 4x + 6y − 11 = 0

Vamos a dividir entre 2,                                $x^{2}$ + $y^{2}$ - 2x + 3y - 11/2 = 0

Ecuación general de la forma                      $x^{2}$ + $y^{2}$ + Dx + Ey + F = 0

El centro es C(h, k), donde:

h = $-\frac{D}{2} = -\frac{-2}{2} = 1$

k = $-\frac{E}{2} = -\frac{3}{2}$

C$(1, -\frac{3}{2} )$

El radio de la circunferencia es la distancia de C$(1, -\frac{3}{2} )$ a la recta

3x − 4y + 17 = 0

r = $\frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} } }$

r = $\frac{|3(1) + (-4)(-\frac{3}{2} ) + 17|}{\sqrt{3^{2} + (-4)^{2} } }$ = $\frac{|3 + 6 + 17|}{\sqrt{9 + 16} } = \frac{|26|}{\sqrt{25} } = \frac{26}{5}$

Ahora encontraremos la ecuación de la circunferencia con C$(1, -\frac{3}{2} )$ y r = $\frac{26}{5}$

donde; D = -2, E = 3 y

F = $h^{2} + k^{2} - r = 1^{2} + (-\frac{3}{2} )^{2} - \frac{26}{5} = 1 + \frac{9}{4} - \frac{26}{5} = \frac{20 + 45 - 104}{20} = -\frac{39}{20}$

Entonces,

$x^{2}$ + $y^{2}$ - 2x + 3y -$\frac{39}{20}$ = 0                              Multiplicando por 20 tenemos

20$x^{2}$ + 20$y^{2}$ - 40x + 60y - 39 = 0