Una circunferencia es descrita por la ecuación: (x -3)2 + (y + 2)2 = 25. Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto P (6, -6).
Respuestas a la pregunta
Respuesta: 3x - 4y - 42 = 0
Explicación paso a paso:
1) Se deriva, respecto a x, implícitamente, la ecuación de la circunferencia:
(x -3)² + (y + 2)² = 25
2(x-3) + 2(y+2). y' = 0
2(y+2). y' = -2(x-3)
y' = -(x-3)/(y+2)
2) Se calcula la derivada en el punto (6,-6):
y' (6,-6) = -(6-3)/(-6+2)
y' (6,-6)= 3/4
3) Se sabe que la pendiente m de la recta tangente buscada es:
m = 3/4
4) Como la recta tangente buscada contiene al punto(6,-6), entonces su ecuación es y - y1 = m(x - x1), donde (x1 , y1) = (6,-6).
La ecuación es y - (-6) = (3/4)(x -6) ⇒ y = (3/4)(x -6) - 6
y = (3/4)x - (18/4) - (24/4)
y = (3/4)x - (42/4)
Al multiplicar por 4 para eliminar el denominador, resulta:
4y = 3x - 42
La ecuación general se obtiene al restar 4y en ambos miembros:
0 = 3x - 4y - 42